小白的奇幻数学课堂(part3)--你能把一张纸对折7次以上吗

学习笔记
学习书目：《x的奇幻之旅》–史蒂夫•斯托加茨

一张纸对折8次

把一张纸对折7次或8次以上，成为一个几乎不可能完成的任务。每对折一次，纸的厚度就会增加一倍，如果不断地对折一张纸，纸的厚度就会呈指数增长。同时，纸的长度每对折一次会缩小1/2，所以纸的长度在不断对折的过程中会呈指数减小。对于一张普通的便笺纸来说，对折7次以后，纸张的厚度就会超过其长度，在这种情况下，是没有办法再次将这张纸对折的。这和折纸的人有多大力气没有任何关系。

在数学上，所谓一张纸被对折过n次，也就是说折完的纸必须在一条直线上有2n层，而当纸的厚度已经大于它的长度时，这个条件是不可能满足的。

因为上述理由，很多年来，没有人能够把一张纸对折8次以上，直到2002年，一位名叫布兰妮·加利文的女高中生完成了这个"不可能的任务"。

首先，加利文给出了一个公式：
$L=\frac{\pi T}{6} + (2^n+4)(2^n-1)$

在这个公式中，L是纸张的长度，T是纸张的厚度，n是这张纸能被对折的最大次数。从这个公式中可以清楚地看出，这个任务之所以那么困难，就是因为有两个 $2^n$ 存在：其中一个 $2^n$ 表示每对折一次纸张的厚度就会翻倍，另一个 $2^n$ 则表示每对折一次纸张的长度就会减半。

根据这个公式，加利文算出，她需要一卷特制的厕纸，这卷纸大约有1207米长。2002年1月，加利文买到了能满足她的要求的厕纸，她在美国加利福尼亚州波莫纳市的一家购物中心里铺开了这卷厕纸，开始进行这项伟大的工程。7个小时以后，在父母的帮助下，加利文把这张纸对折了12次，一举打破了世界纪录。

指数增长与复利

理论上，指数增长是我们致富的希望。

假设我们把钱存入银行，我的本金为B，存款的年利率为r，那么1年后，我将我得到的利息 $Br$ 再存入银行，我的存款就会变为 $B(1+r)$ ，以此类推，n年后，我的存款会变为 $B(1+r)^n$

这就是我们所说的复利，即传说中"滚雪球"的魔力，这种现象的本质其实也是指数增长。

对数

那么，为什么我们需要对数呢？

很多时候，我们需要一些反向的工具，用于消除某种其他工具产生的效果。每一个数学家都需要指数函数和对数函数。是的，对数函数是指数函数的逆运算，比如， $log(10^x)=x$

我们都知道， $log(100)=2, \; log(1000)=3, \; log(10000)=4$ ，可以观察到，当 $log$ 后面括号里的数字以乘法增长，每次增长10倍时，它们的对数却以加法增长，每次增加1.

当我们听音乐的时候，我们的大脑其实是用对数的方法来识别音阶的。音的频率do、re、mi、fa、sol、la、ti、do听起来像是一步一步、一阶一阶地增长的，但其实这些音的震动频率是以乘法的方式成倍增长的。

在很多领域，对数使得计数变得更加简洁明了。当需要衡量的数量大的极大、小的极小，横跨的范围很宽的时候，对数的引入能起到压缩作用，压缩后的数据更直观易懂。比如，在日常对话中，我们会说某人的年薪是6位数，意思是某人的年薪在100000~999 999人民币之间。这种说法其实也用到了对数的概念。