数学课(math)

数学课(math)

题目描述

 

wzy又来上数学课了…… 虽然他很菜，但是数学还是懂一丢丢的。老师出了一道题，给定一个包含nn个元素的集合P=1,2,3,…,nP=1,2,3,…,n，求有多少个集合A⊆PA⊆P，满足任意x∈Ax∈A有2x∉A2x∉A，且对于AA在PP中的补集BB，也满足任意x∈Bx∈B有2x∉B2x∉B。

wzy花费了1E100天终于算出来了这个答案，但是可恶的caoxia居然又加了一个条件！他要求AA的大小恰好为mm，这样又有多少个AA呢？

这回wzy真的不会了，他找到了你，希望能够得到帮助。由于答案太大，你只需要输出答案mod10000019mod10000019即可。

 

输入

 

第一行两个数，为n,qn,q。接下来qq行每行一个数mm，询问大小为mm的AA一共有多少个。

 

输出

 

共qq行，每行一个数，表示方案数mod10000019

 

样例解释

对于第一个样例，P={1,2,3}，P可以选{1},{2},{1,3},{2,3}，大小为1的两种，大小为2的也有两种。

对于第二个样例，我想到了一个绝妙的解释，可惜这里写不下。

数据范围及约定

subtask1：20pts，n,m,q≤20n,m,q≤20.

subtask2：30pts，n,m,q≤5,000n,m,q≤5,000.

subtask3：30pts，n,m≤10,000,000,q≤100,000n,m≤10,000,000,q≤100,000

subtask4：20pts，n,m≤1018,q≤100,000n,m≤1018,q≤100,000

 

来源

noip2018模拟-南外

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solution

暴力想法，把每个奇数和他乘上2的若干倍丢进数组

可知我的集合一定要选一半

令x=num/2;

那么如果个数为奇数，可以选x/x+1

为偶数则只能选x个

假设奇数个数的数目为NA，偶数个数为NB,sum为一定得选的个数

答案即C（NA，m-sum）*2^NB

也就是选出m-sum个x+1 nb的可以瞎选（每个两种方案）

注意到模数只有10000019，C（n,m）可以用lucas定理求

lucas忘光。。。

如果n<m可以直接return 0，因为这样子N！一定包括mod

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define mod 10000019
using namespace std;
int q;
ll n,m,x,h[mod+10],ny[mod+10],num[70];
ll work(ll a,ll num){
    ll ans=1;
    while(num){
        if(num&1)ans=ans*a;
        a=a*a;a%=mod;ans%=mod;num>>=1;
    }
    return ans;
}
ll C(int N,int M){
    if(N<M)return 0;
    return h[N]*ny[M]%mod*ny[N-M]%mod;
}
ll Lucas(ll N,ll M){
    if(!M)return 1;
    return Lucas(N/mod,M/mod)*C(N%mod,M%mod)%mod;
}
int main()
{
    cin>>n>>q;
    ll x=2,la=n,cnt=0,sum=0,na=0,nb=0;
    if(la%2==0)la--;
    while(1){
         
        ll now=n/x;
        if(now%2==0)now++;
        else now+=2;
        num[++cnt]=(la-now)/2+1;
        if(cnt&1)na=na+num[cnt];
        else nb=nb+num[cnt];
        sum=sum+num[cnt]*(cnt/2);
        if(now==1)break;la=now-2;x<<=1;
    }
    h[0]=1;for(int i=1;i<mod;i++)h[i]=h[i-1]*i%mod;
    ny[mod-1]=work(h[mod-1],mod-2);
    for(int i=mod-2;i;i--)ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mod;ny[0]=1;
    while(q--){
        scanf("%lld",&m);
        if(m<sum||m>na+sum){puts("0");continue;}
        ll ans=Lucas(na,m-sum)*work(2,nb)%mod;
        ans=(ans+mod)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}