hdu_4311_Meeting point-1(曼哈顿距离）及其拓展

题目链接

题目描述

给定n个点，找出其中一个点，使得其他点到这个点的曼哈顿距离和最小，求这个最小距离和。

Sample Input

4
6
-4 -1
-1 -2
2 -4
0 2
0 3
5 -2
6
0 0
2 0
-5 -2
2 -2
-1 2
4 0
5
-5 1
-1 3
3 1
3 -1
1 -1
10
-1 -1
-3 2
-4 4
5 2
5 -4
3 -1
4 3
-1 -2
3 4
-2 2

Sample Output

26
20
20
56

解题思路

曼哈顿距离：两个点的横纵坐标的差的绝对值之和；

d i c = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |

$dic=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$
题目要求计算的结果为

d i c = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - x | + \sum_{i = 1}^{n} | y_{i} - y |

$dic=\sum_{i=1}^n{|x_i-x|}+\sum_{i=1}^n{|y_i-y|}$
暴力解法就是，遍历所有点，计算其到其他所有点的曼哈顿距离和，记录最小值，时间复杂度是O(

n^{2}

$n^2$ )；
优化过程：预处理两个数组sum_x[n],sum_y[n];
sum_x[i]表示到序号i为止的点的横坐标的和。
sum_y[i]表示到序号i为止的点的纵坐标的和。
将所有点按x排序后:

s u m_{x} = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - x | = (i - 1) * x [i] - s u m_{x} [i - 1] + s u m_{x} [n] - s u m_{x} [i] - (n - i) * x [i];

$sum_x=\sum_{i=1}^n{|x_i-x|} =(i - 1)*x[i] - sum_x[i - 1] + sum_x[n] - sum_x[i] - (n - i)*x[i];$
将所有点按y排序后:

s u m_{y} = \sum_{i = 1}^{n} | y_{i} - y | = (i - 1) * y [i] - s u m_{y} [i - 1] + s u m_{y} [n] - s u m_{y} [i] - (n - i) * y [i];

$sum_y=\sum_{i=1}^n{|y_i-y|} =(i - 1)*y[i] - sum_y[i - 1] + sum_y[n] - sum_y[i] - (n - i)*y[i];$
时间复杂度为O(nlog(n));

AC代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=100005;
struct note
{
    int x,y,id;
} a[maxn];
int x[maxn],y[maxn],n;
LL numx[maxn],numy[maxn];

bool cmp1(note a,note b)
{
    return a.x<b.x;
}

bool cmp2(note a,note b)
{
    return a.y<b.y;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        LL sumx=0,sumy=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
            a[i].x=x[i];
            a[i].y=y[i];
            a[i].id=i;
            sumx+=x[i];
            sumy+=y[i];
        }
        sort(a+1,a+n+1,cmp1);
        LL ans=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            ans+=a[i].x;
            int j=a[i].id;
            numx[j]=(LL)x[j]*(2*i-n)+sumx-2*ans;
        }
        sort(a+1,a+1+n,cmp2);
        ans=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            ans+=a[i].y;
            int j=a[i].id;
            numy[j]=(LL)y[j]*(2*i-n)+sumy-2*ans;
        }
        ans=numy[1]+numx[1];
        for(int k=2; k<=n; k++)
            ans=min(ans,numx[k]+numy[k]);
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}

扩展

给定n个点的坐标，求出一个点（不一定是n个点之一），使得其到其他所有点的曼哈顿距离和最小；
易知，要求的点的x值必定是n个点中某一个点的x值，y值必定是n个点中某一个点的y值，但未必是同一个点的x值和y值；求x和y的过程跟上面一题一样。