最长上升子序列的两种算法（LIS）

最长上升子序列就是求：给定的一串数字中找出不断上升的最长那一串（该串不一定相连，只保证递增即可）。就比如下面这个例子其最长上升子序列为2 3 4 7或2 3 4 6 数串长度为4 那么具体怎么求的呢

我们拿一个最简单的例子讲：

【题目描述】

给定N个数，求这N个数的最长上升子序列的长度。

【样例输入】

2 5 3 4 1 7 6

【样例输出】

一、朴素算法（复杂度O（n^2））

dp[i]表示从0～i的以a[i]结尾的最大上升子序列长度，而以a[i]结尾的最长上升子序列有两种：1.只包含a[i]的子序列（即为其自身长度dp[i]=1）; 2.在满足j<i且a[j]<a[i]的以a[j]为结尾的上升子序列末尾，追加上a[i]得到的子序列（即dp[i]=a[j]+1）。

所以有如下递推关系：

dp[i]的值为max（dp[j]+1,dp[i]）也就是：

i	0	1	2	3	4	5	6
a[i]	2	5	3	4	1	7	6
dp[i]	1	2	2	3	1	4	4

没看懂表格没关系，下面是具体解释对a[i]从头开始遍历，第一个数是2，由于2前面没有数字，则到2的最大长度就是1（其本身）即dp[0]=1。接着a[1]=5。a[1]>a[0].那么这时候dp[2]=dp[1]+1=2; a[2]=3,往前遍历3<5不符合条件，3>2满足dp[3]=dp[1]+1=2;a[3]=4,往前遍历找满足条件的最大值 4>3,dp[3]=dp[2]+1=3，4<5不符合条件，4>2 dp[1]+1=2<(dp[3]=3),则dp[3]=3。以此类推。。。

下面上代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
    int n,dp[100010],a[100010];
    int i,j,maxn;
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(i=0;i<n;i++){
            dp[i]=1;
            for(j=i;j>=0;j--){//往前遍历，找到以a[i]结尾的最大值
                if(a[i]>a[j]){
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
                }
            }
        }
        maxn=0;
        for(i=0;i<n;i++){//遍历dp[i]找到最大值
            if(maxn<dp[i]){
                maxn=dp[i];
            }
        }
        printf("%d\n",maxn);
    }
    return 0;
}

二、二分法（复杂度nlogn）

用dp[i]表示数字串长度i的时对应的最小末尾值。然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。

此外，我们用一个变量Len记录目前最长算到多少了

还是以上面的题举例

首先，把a[1]有序地放到dp里，令dp[1] = 2，表示当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时的Len = 1。

接着，a[2] = 5，a[2] > dp[1]，所以令dp[1+1] = dp[2] = a[3] = 5，表示长度为2的LIS的最小末尾是5，这时候dp[1..2] = 2, 5，这时的Len ＝ 2。

接着，a[3] = 3，它正好夹在了1和5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是把5淘汰掉，这时候dp[1..2] = 2, 3，这时Len = 2。

继续，a[4] = 4，它在3后面，因为dp[2] = 3, 而4在3后面，于是很容易可以推知dp[3] = 4, 这时dp[1..3] = 2, 3, 4，这时的Len = 3。

a[5] = 1，这时候往前遍历你会发现a[5]<dp[1]，则这时将dp[1]替换为a[5]即dp[1]=a[5]=1,此时dp[1..2]=1,3,4

a[6] = 7，它很大，比4大，于是dp[4] = 7，这时的Len = 4。

a[7] = 6，dp[3]<a[7]<dp[4]得到dp[4] = 6，这时的Len = 4。

注意。这个1,3,4,6不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。

下面给出例题模版：

用STL写：

#include<stdio.h>  
#include<string.h>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
#define INF 0x3f3f3f  
int dp[10010];//dp[i]表示长度为i+1的子序列末尾元素最小值；   
int a[10010];  
int main()  
{  
    int n;  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
    {  
        for(int i=0;i<n;i++)  
        {  
            scanf("%d",&a[i]);  
            dp[i]=INF;//不可以用memset对数组赋值INF,只能赋值0或-1；  
                      //可以用fill(dp,dp+n,INF);   
        }  
        for(int i=0;i<n;i++)  
        {  
            *lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];//找到>=a[i]的第一个元素，并用a[i]替换；   
        }  
        printf("%d\n",lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp);//找到第一个INF的地址减去首地址就是最大子序列的长度；   
    }  
    return 0;  
}

最长上升子序列的两种算法（LIS）

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