插入排序法

插入排序法是一种很容易想到的算法，它的思路与打扑克时排列手牌的方法很相似。比如我们现在单手拿牌，然后要将牌从左至右，从小到大进行排序。此时我们需要将牌一张张抽出来，分别插入到前面已排好序的手牌中的适当位置。重复这一操作直到插入最后一张牌，整个排序就完成了。

插入排序的算法如下：

insertionSort(A, N) // 包含 N 个元素的 0 起点数组 A
    for i from 1 to N - 1
        v = A[i]
        j = i - 1
        while j >= 0 and A[j] > v
            A[j + 1] = A[j]
            j--
        A[j + 1] = v

讲解

插入排序法在排序过程中，会将整个数组分成 “已排序部分” 和 “未排序部分”。

举个例子，我们对数组 $A = {\left \{ 8,3,1,5,2,1 \right \}}$ 进行插入排序时，整体流程如下图所示。

8 3 1 5 2 1 // 步骤 0
0 1 2 3 4 5 // 下标

3 8 1 5 2 1 // 步骤 1
0 1 2 3 4 5 // 下标

1 3 8 5 2 4 // 步骤 2
0 1 2 3 4 5 // 下标

1 3 5 8 2 1 // 步骤 3
0 1 2 3 4 5 // 下标

1 2 3 5 8 1 // 步骤 4
0 1 2 3 4 5 // 下标

1 1 2 3 5 8 // 步骤 5
0 1 2 3 4 5 // 下标

在步骤 1 中，将开头元素 $A[0](=8)$ 视为已排序，所以我们取出 $A[1]$ 的 3，将其插入已排序部分的恰当位置。首先把原先位于 $A[0]$ 的 8 移动至 $A[1]$ ，再把 3 插入 $A[0]$ 。这样一来，开头 2 个元素就完成了排序。

在步骤 2 中，我们要把 $A[2]$ 的 1 插入恰当位置。这里首先将比 1 大的 $A[1](=8)$ 和 $A[0](=3)$ 顺次向后移动一个位置，然后把 1 插入 $A[0]$ 。

在步骤 3 中，我们要把 $A[3]$ 的 5 插入恰当位置。这次将比 5 大的 $A[2](=8)$ 向后移动一个位置，然后把 5 插入 $A[2]$ 。

之后同理，将已排序部分的其中一段向后移动，再把未排序部分的开头元素插入已排序部分的恰当位置。插入排序法的特点在于，只要 0 到第 $i$ 号元素全部排入已排序部分，那么无论后面如何插入，这个 0 到第 $i$ 号元素都将永远保持排序完毕的状态。

实现插入排序法时需要的主要变量如下表所示：

$A[N]$	长度为 $N$ 的整形数组
$i$	循环变量，表示未排序部分的开头元素
$v$	临时保存 $A[i]$ 值的变量
$j$	循环变量，用于在已排序部分寻找 $v$ 的插入位置

外层循环的 $i$ 从 1 开始自增。在每次循环开始时，将 $A[i]$ 的值临时保存在变量 $v$ 中。

接下来是内部循环。我们要从已排序部分找出比 $v$ 大的元素并让它们顺次后移一个位置。这里，我们让 $j$ 从 $i- 1$ 开始向前自减，同时将比 $v$ 大的元素从 $A[j]$ 移动到 $A[j+1]$ 。一旦 $j$ 等于 -1 或当前 $A[j]$ 小于等于 $v$ 则结束循环，并将 $v$ 插入当前 $j +1$ 的位置。

考察

在插入排序法中，我们只将比 $v$ （去出的值）大的元素向后平移，不相邻的元素不会直接交换位置，因此整个排序算法十分稳定。

然后我们考虑一下插入排序法的复杂度。这里需要估计每个 $i$ 循环中 $A[j]$ 元素向后移动的次数。最坏的情况下，每个 $i$ 循环都需要执行 $i$ 次移动，总共需要 $1+2+....+N-1=(N^{2} - N)/2$ 次移动，即算法复杂度为 $O(N^{2})$ 。大多数时候，我们在计算复杂度的过程中，可以大致估计一下运算次数，然后只留下对代数式影响最大的项，忽略常数项。比如 $\frac{N^{2}}{2} - \frac{N}{2}$ ，这里的 $N$ 相对于 $N^{2}$ 而言就小得足以忽略，然后再忽略掉常数倍 $\frac{1}{2}$ ，得出复杂度与 $N^{2}$ 成正比。当然，前提是假设这里的 $N$ 足够大。

插入排序法是一种很有趣的算法，输入数据的顺序能大幅影响它的复杂度。我们前面说它的复杂度为 $O(N^{2})$ ，也仅是指输入数据为降序排列的情况。如果输入数据为升序排列，那么 $A[j]$ 从头至尾都不需要移动，程序只需要经历 $N$ 次比较便可执行完毕。可见，插入排序法的优势就在于能快速处理相对有序的数据。

算法实现

#include <stdio.h>

/* 按顺序输出数组元素 */
void trace(int A[], int N) {
    int i;
    for (i = 0; i < N; i++) {
        if (i > 0) printf(" "); /* 在相邻元素之间输出 1 个空格 */
        printf("%d", A[i]);
    }
    printf("\n");
}

/* 插入排序（0 起点数组）*/
void insertionSort(int A[], int N) {
    int i, j, v;
    for (i = 1; i < N; i++) {
        v = A[i];
        j = i - 1;
        while (j >= 0 && A[j] > v) {
            A[j + 1] = A[j];
            j--;
        }
        A[j + 1] = v;
        trace(A, N);
    }
}

int main() {
    int N, i, j;
    int A[100];

    scanf("%d", &N);
    for (i = 0; i < N; i++) scanf("%d", &A[i]);

    trace(A, N);
    insertionSort(A, N);

    return 0;
}

/*
输入示例：
6
5 2 4 6 1 3

输出示例：
5 2 4 6 1 3
2 5 4 6 1 3
2 4 5 6 1 3
2 4 5 6 1 3
1 2 4 5 6 3
1 2 3 4 5 6
*/

【初等排序】插入排序法详解

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