前言
在学会分块之前，觉得分块是一个很深奥的东西，很玄学。但其实分块的作用也很广泛，也非常简单，在这里分享一下。
分块的定义与分块的基本性质
分块，顾名思义，就是将一个数组分成一些小块。
而分块有一个基本性质，就是块的大小不会影响答案，只对时间有一定影响。
一般有以下三种分块方式：
No.1: 固定长度分块。
No.2 : 长度为sqrt(n)
No.3 : 每块随机长度。
常用的话一般选择No.1或No.2。
分块
如果选择No.2的分块方式的话，我们定义以下几个变量：
1 block = (int)sqrt(n) //块的长度 2 3 sum = n / block; 4 if (n % block) sum++;//块数 5 6 p[i] = (i - 1) / block + 1;//第i个元素在第几块中
这几个变量十分有用，在后文中会讲到。
以上是分块的初始化。
下面我们来讲对于查询怎么对付，
对于区间查询，有三种情况：
1:询问区间[x,y]中x不是块的左边界，y也不是块的右边界。
2:询问区间[x,y]中x不是块的左边界，y也是块的右边界。
3:询问区间[x,y]中x是块的左边界，y也不是块的右边界。
我们发现，对于比较普通的1情况可以把询问区间分成3个部分：
左边多出来的、中间的k块、右边多出来的。
可以发现，对于一块来说查询是O(1)的（因为我可以预处理每一块的值）
对于多出来的边角料部分总和不足2*sqrt(n)，基于这个时间复杂度，我们可以进行暴力求解。
所以可以发现对于1操作查询的总复杂度（一共有n次操作）为O(n*sqrt(n))。
对于2、3情况，我们可以将这些情况当成1情况来处理。
代码展示：
1 for (int i = x; i <= min(y,p[x] * block); i++)//处理左边角料 2 //do something 3 4 for (int i = (p[y] - 1) * block + 1; i <= y; i++)//处理右边角料 5 //do something 6 7 for(int i = p[x] + 1; i <= p[y] - 1; i++)//处理中间k块 8 //do something 9 10 //这里特别注意一下，对于一个块的左边界，我们可以求出上一个块的右边界(p[x] - 1)*block，+1后就是这个块的左边界。
现在我们来讲一下修改操作。
跟查询操作一样，我们也可以分成3部分，对于边角料暴力修改a[i]，对于一块，我们修改这一块的值A[p[i]]
总时间复杂度为O(n*sqrt(n))。
代码展示：
for (int i = x; i <= min(y,p[x] * block); i++)//处理左边角料 change(a[i]); for (int i = (p[y] - 1) * block + 1; i <= y; i++)//处理右边角料 change(a[i]) for(int i = p[x] + 1; i <= p[y] - 1; i++)//处理中间k块 change(A[i]);//这里的i已经是块号了，所以修改的是A[i]，与讲解的不太一样
对于预处理，我们发现即使每个块暴力进行对于A[i]的预处理，时间复杂度也只有O(n)，
所以预处理就块内暴力求解。
代码展示：
void work(int x,int y,int t) { int st = 0; for (int i = x; i <= y; i++) //do something with st A[t] = st; } for (int i = 1; i <= sum; i++)//一共sum块 work((p[i] - 1) * block + 1,p[i] * block,i);//传入块的左右边界和编号
几种常用的（入门）模板
1：区间加法，单点求和。(loj6277)
预处理时求得每个块内的和，修改时对于边角料暴力修改值。
对于中间的k块，修改加法标记addtag[i]，表示第i个块加上了addtag[i]。
对于询问，我们要记下对于一个块一共加上了多少（记在addtag里），最后输出a[i] + addtag[p[i]]
完整代码展示:
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 using namespace std; 4 int block,sum,Ans[50005],p[50005],n,m,Add[50005]; 5 int a[50005]; 6 inline void work(int as,int bs,int x) 7 { 8 int st = 0; 9 for (int i = as; i <= bs; i++) 10 st += a[i]; 11 Ans[x] = st; 12 } 13 inline int read(){ 14 int s=0,w=1; 15 char ch=getchar(); 16 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();} 17 while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar(); 18 return s*w; 19 } 20 signed main(){ 21 scanf("%lld",&n); 22 block = (int)sqrt(n); 23 sum = n / block; 24 if (n % block) sum++; 25 for (int i = 1; i <= n; i++) 26 { 27 //scanf("%lld",&a[i]); 28 a[i] = read(); 29 p[i] = (i - 1) / block + 1; 30 } 31 for (int i = 1; i <= sum; i++) 32 work((i - 1) * block + 1,i * block,i);//预处理块内和 33 for (int i = 1; i <= n; i++) 34 { 35 int x,y,st = 0,op,k,mp,io; 36 op = read(); 37 if (op == 1) 38 { 39 mp = read(); 40 x = read(); 41 io = read(); 42 printf("%lld\n",a[x] + Add[p[x]]);//输出对于a[i]加上了多少 43 } else 44 { 45 x = read(); 46 y = read(); 47 k = read(); 48 for (int j = x; j <= min(p[x] * block,y); j++) 49 a[j] += k; 50 if (p[x] != p[y]) 51 for (int j = (p[y] - 1) * block + 1; j <= y; j++) 52 a[j] += k; 53 for (int j = p[x] + 1; j <= p[y] - 1; j++) 54 Add[j] += k;//这里直接修改加法标记 55 } 56 } 57 return 0; 58 }
2：区间加法，区间求和。(loj6280)
预处理时求得每个块内的和，修改时对于边角料暴力修改值，修改了a[i]的值，也要把a[i]所在块的值修改。
对于中间的k块，修改加法标记addtag[i]，表示第i个块加上了addtag[i]。
对于询问，我们要记下对于一个块一共加上了多少（记在addtag里），对于边角料同上一个模板一样，暴力+a[i]+addtag[p[i]]
对于中间的k块加上A[i]，因为其中有block个数，所以要+block个addtag[i]
完整代码展示：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 using namespace std; 4 const long long inf = 66666666233; 5 int block,sum,Ans[3000005],p[3000005],n,m,Add[3000005]; 6 int a[3000005]; 7 void work(int as,int bs,int x) 8 { 9 int st = 0; 10 for (int i = as; i <= bs; i++) 11 st += a[i]; 12 Ans[x] = st; 13 } 14 signed main(){ 15 scanf("%lld",&n); 16 block = (int)sqrt(n); 17 sum = n / block; 18 if (n % block) sum++; 19 for (int i = 1; i <= n; i++) 20 { 21 scanf("%lld",&a[i]); 22 p[i] = (i - 1) / block + 1; 23 } 24 for (int i = 1; i <= sum; i++) 25 work((i - 1) * block + 1,i * block,i); 26 for (int i = 1; i <= n; i++) 27 { 28 int x,y,st = 0,op,k; 29 scanf("%lld",&op); 30 if (op == 1) 31 { 32 scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k); 33 for (int j = x; j <= y; j) 34 if ((j - 1) % block || (p[j] * block > y)) 35 { 36 st += Add[p[j]] + a[j]; 37 j++; 38 } else 39 { 40 st += Ans[p[j]] + Add[p[j]] * ((p[j] * block) - ((p[j] - 1) * block + 1) + 1);//加上block个Add[p[j]] 41 j += block; 42 } 43 printf("%lld\n",st % (k + 1)); 44 } else 45 { 46 scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k); 47 for (int j = x; j <= y; j) 48 if ((j - 1) % block || (p[j] * block > y)) 49 { 50 a[j] += k; 51 Ans[p[j]] += k; 52 j++; 53 } else 54 { 55 Add[p[j]] += k; 56 j += block; 57 } 58 } 59 } 60 return 0; 61 }
3：区间开方，区间求和。(loj6281)
预处理时求得每个块内的和，修改时对于边角料暴力修改值，修改了a[i]的值，也要把a[i]所在块的值修改。
对于中间的k块，修改总和A[i]，表示第i个块减少了。
对于询问，我们要记下对于一个块一共加上了多少（记在addtag里），边角料暴力+a[i]
对于中间的k块加上A[i]，输出答案。
完整代码展示：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 using namespace std; 4 int block,sum,Ans[50005],p[50005],n,m,Add[50005],tag[500005]; 5 int a[50005]; 6 inline void work(int as,int bs,int x) 7 { 8 int st = 0; 9 for (int i = as; i <= bs; i++) 10 st += a[i]; 11 Add[x] += st; 12 //COp[x] = st; 13 } 14 inline int read(){ 15 int s=0,w=1; 16 char ch=getchar(); 17 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();} 18 while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar(); 19 return s*w; 20 } 21 void push_down(int x){ 22 Add[x]=0; 23 int flag=1; 24 for(int i=(x-1)*block+1;i<=min(n,x*block);i++){ 25 a[i]=(int)sqrt(a[i]*1.0); 26 Add[x]+=a[i]; 27 if(a[i]!=1) flag=0; 28 } 29 tag[x]=flag; 30 }//这里注意一下，对于中间的块要标记下传，重新更新 31 signed main(){ 32 scanf("%lld",&n); 33 block = (int)sqrt(n); 34 sum = n / block; 35 if (n % block) sum++; 36 for (int i = 1; i <= n; i++) 37 { 38 a[i] = read(); 39 p[i] = (i - 1) / block + 1; 40 } 41 for (int i = 1; i <= sum; i++) 42 work((i - 1) * block + 1,i * block,i); 43 for (int i = 1; i <= n; i++) 44 { 45 int x,y,st = 0,op,k,mp,io; 46 op = read(); 47 if (op == 1) 48 { 49 x = read(); 50 y = read(); 51 mp = read(); 52 for (int j = x; j <= min(p[x] * block,y); j++) 53 st += a[j]; 54 if (p[x] != p[y]) 55 for (int j = (p[y] - 1) * block + 1; j <= y; j++) 56 st += a[j]; 57 for (int j = p[x] + 1; j <= p[y] - 1; j++) 58 st += Add[j]; 59 printf("%d\n",st); 60 } else 61 { 62 x = read(); 63 y = read(); 64 k = read(); 65 for (int j = x; j <= min(p[x] * block,y); j++) 66 { 67 int uy = a[j]; 68 a[j] = (int)sqrt(a[j]); 69 Add[p[j]] -= uy - a[j];//开方就等于减少了sqrt(a[i]) 70 } 71 if (p[x] != p[y]) 72 for (int j = (p[y] - 1) * block + 1; j <= y; j++) 73 { 74 int uy = a[j]; 75 a[j] = (int)sqrt(a[j]); 76 Add[p[j]] -= uy - a[j]; 77 } 78 for (int j = p[x] + 1; j <= p[y] - 1; j++) 79 if (tag[j] == 0) push_down(j); 80 } 81 } 82 return 0; 83 }
4：区间加法，区间询问小于c2的数。(loj6278、luoguP4145)
预处理时对于所有块进行快内排序，将未排序的a数组赋值给tlps，修改时对于边角料暴力修改值，修改tlps[i]的值（如果修改的是a的话，因为排过序，会发现位置不对）。
对于中间的k块，修改A[i]。
对于询问，边角料暴力判断
对于中间的k块（对于a数组）lower_bound c^2 - addtag（因为询问所有a + addtag 等价于 c^2 - addtag），得出这个位置，可以发现，这个位置的前面都是符合要求的。
完整代码展示：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 using namespace std; 4 int block,sum,Ans[50005],p[50005],n,m,Add[50005]; 5 int a[50005],tlps[50005]; 6 inline void work(int as,int bs) 7 { 8 for (int i = as; i <= bs; i++) 9 a[i] = tlps[i]; 10 sort(a + as,a + bs + 1); 11 } 12 signed main(){ 13 //freopen("a1.in","r",stdin); 14 //freopen("ate.out","w",stdout); 15 memset(Add,0,sizeof(Add)); 16 scanf("%lld",&n); 17 block = (int)sqrt(n); 18 sum = n / block; 19 if (n % block) sum++; 20 for (int i = 1; i <= n; i++) 21 { 22 scanf("%lld",&a[i]); 23 tlps[i] = a[i];//注意要复制一份 24 p[i] = (i - 1) / block + 1; 25 } 26 for (int i = 1; i <= sum; i++) 27 work((i - 1) * block + 1,min(i * block,n)); 28 for (int i = 1; i <= n; i++) 29 { 30 int x,y,op,k; 31 scanf("%lld",&op); 32 if (op == 1) 33 { 34 scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k); 35 k = k * k; 36 int v = 0; 37 for (int j = x; j <= min(p[x] * block,y); j++) 38 if (tlps[j] + Add[p[x]] < k) 39 v++; 40 if (p[x] != p[y]) 41 for (int j = (p[y] - 1) * block + 1; j <= y; j++) 42 if (tlps[j] + Add[p[y]] < k) 43 v++; 44 for (int j = p[x] + 1; j <= p[y] - 1; j++) 45 v += lower_bound(a + (j - 1) * block + 1,min(a + n,a + j * block + 1),k - Add[j]) - (a + (j - 1) * block + 1);//二分查询 46 printf("%lld\n",v); 47 } else 48 { 49 scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k); 50 for (int j = x; j <= min(p[x] * block,y); j++) 51 { 52 tlps[j] += k;//修改的是原数组 53 //a[j] += k; 54 } 55 work((p[x] - 1) * block + 1,min(n,p[x] * block)); 56 if (p[x] != p[y]) 57 { 58 for (int j = (p[y] - 1) * block + 1; j <= y; j++) 59 { 60 tlps[j] += k; 61 //a[j] += k; 62 } 63 work((p[y] - 1) * block + 1,min(n,p[y] * block)); 64 } 65 for (int j = p[x] + 1; j <= p[y] - 1; j++) 66 Add[j] += k; 67 } 68 } 69 return 0; 70 }