[Codeforces 1070F]Debate（贪心）

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洛谷 RemoteJudge
Codeforces 1070F

Meaning

• Alice 和 Bob 参加选举
• 有 $n$ 个投票人，第 $i$ 个人有两个属性 $s_i$ 和 $a_i$
• 对于第 $i$ 个人， $s_i$ 是一个长度为 $2$ 的 $01$ 串
• $s_i=00$ 表示第 $i$ 个人不支持 Alice 和 Bob
• $s_i=01$ 表示第 $i$ 个人不支持 Alice 但支持 Bob
• $s_i=10$ 表示第 $i$ 个人支持 Alice 但不支持 Bob
• $s_i=11$ 表示第 $i$ 个人支持 Alice 和 Bob
• 第 $i$ 个人的影响力为 $a_i$
• 现在要从中选出一些人，满足下面 $2$ 个条件
• （1）选出的人中，支持 Alice 的人数的 $2$ 倍大于或等于选出的人数
• （2）选出的人中，支持 Bob 的人数的 $2$ 倍大于或等于选出的人数
• 求选出的人的影响力之和的最大值

Solution

• 考虑把所有投票人按照 $s_i$ 分开，显然在最优方案中 $s_i=11$ 的投票人必须被选出
• 然后重点对 $00$ 、 $01$ 、 $10$ 进行分析
• 一个结论：在最优方案中，所有 $s_i=01$ 的投票人全部被选出，或者所有 $s_i=10$ 的投票人全部被选出
• 证明：如果有一种合法方案，有 $x$ 个 $s_i=01$ 的投票人没被选出，有 $y$ 个 $s_i=10$ 的投票人没被选出
• 那么再选 $\min(x,y)$ 个 $s_i=01$ 的投票人和 $\min(x,y)$ 个 $s_i=10$ 的投票人则显然还是合法
• 下面对 $s_i=01$ 的投票人全部被选出的情况进行讨论（ $s_i=10$ 的投票人全部被选出的情况同理）
• 先把 $s_i=10$ 的投票人按照 $a_i$ 进行排序并求影响力的前缀和
• $s_i=00$ 的投票人干同样的事情
• 下面设 $n_x$ 为 $s_i=x$ 的投票人个数
• 枚举 $s_i=10$ 的投票人选出的个数 $k$
• 那么如果 $n_{11}+k<n_{01}$ （支持 Alice 的人太少）或者 $n_{11}+n_{01}<k$ （支持 Bob 的人太少）则这个 $k$ 不合法
• 否则之多可以选择 $\min(n_{00},n_{11}+k-n_{01},n_{11}+n_{01}-k)$ 个 $s_i=00$ 的投票人
• 上式 $\min$ 内第一个参数为 $s_i=00$ 的人数，第二个参数表示支持 Alice 1人数减去不支持 Alice 的人数（换句话说，表示最多还能有多少个人不支持 Alice ），第三个参数表示最多还能有多少个人不支持 Bob 。
• 显然在 $s_i=00$ 的人中选出一些以及在 $s_i=10$ 的人中选出一些，必须选择影响力最大的几个
• 利用排序之后预处理处的前缀和更新答案
• 复杂度 $O(n\log n)$ （含排序）

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

template <class T>
inline T Max(const T &a, const T &b) {return a > b ? a : b;}

template <class T>
inline T Min(const T &a, const T &b) {return a < b ? a : b;}

inline bool comp(const int &a, const int &b)
{
	return a > b;
}

const int N = 4e5 + 5;

int n, n00, n01, n10, n11, a00[N], a01[N], a10[N], a11[N], delta, tot, ans;

int main()
{
	int i, x, y;
	n = read();
	For (i, 1, n)
	{
		x = read(); y = read();
		if (!x) a00[++n00] = y;
		else if (x == 1) a01[++n01] = y;
		else if (x == 10) a10[++n10] = y;
		else a11[++n11] = y;
	}
	std::sort(a00 + 1, a00 + n00 + 1, comp);
	std::sort(a01 + 1, a01 + n01 + 1, comp);
	std::sort(a10 + 1, a10 + n10 + 1, comp);
	For (i, 1, n11) delta += a11[i], tot++;
	For (i, 2, n00) a00[i] += a00[i - 1];
	For (i, 2, n01) a01[i] += a01[i - 1];
	For (i, 2, n10) a10[i] += a10[i - 1];
	For (i, 0, n01)
	{
		if (tot + i < n10 || tot + n10 < i) continue;
		ans = Max(ans, a01[i] + a10[n10] +
			a00[Min(n00, Min(tot + i - n10, tot + n10 - i))]);
	}
	For (i, 0, n10)
	{
		if (tot + i < n01 || tot + n01 < i) continue;
		ans = Max(ans, a10[i] + a01[n01] +
			a00[Min(n00, Min(tot + i - n01, tot + n01 - i))]);
	}
	std::cout << ans + delta << std::endl;
	return 0;
}