LuoGuP1020导弹拦截【单调栈+二分深刻理解】【做题报告】

这是一道水题，但是对我的二分有很大启发，也可以n2DP但是显然单调栈nlogn更佳

题目描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是 $\le 50000≤50000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。$

输入输出格式

输入格式：

$11行，若干个整数（个数\le 100000≤100000）$

输出格式：

输入输出样例

输入样例#1：复制

389 207 155 300 299 170 158 65

输出样例#1：复制

6
2

说明

为了让大家更好地测试n方算法，本题开启spj，n方100分，nlogn200分

每点两问，按问给分

这道题就是求最长不上升和上升子序列；

这是为什么呢，第一问很好理解，第二问为为什么求最长上升就行了呢？？

这个可以脑补一下，相当于是一个个的上升序列，然后他们的队头构成了最后的最长上升

然后我就想，为什么不能在每一个队里选出来更多的数组成更长的答案？

这是不成立的，因为这个队列是单调递减，只能一个队里选一个（因为如果选两个就不是上升了），所以一个队里选一个，最后答案还是一样的，并不影响

然后呢，n2是白给的（思路很好懂，暴力贪心）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 int cnt;
 6 int a[100011];
 7 int dp[100011];
 8 int main()
 9 {
10 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
11     while(scanf("%d",&a[++cnt])!=EOF)continue;cnt--;
12     dp[1]=1;
13     for(int i=2;i<=cnt;i++)
14     {
15         int tmp=0;
16         for(int j=1;j<=i-1;j++)
17         {
18              if(a[j]>=a[i])tmp=max(tmp,dp[j]);
19         }
20         dp[i]=max(dp[i],tmp+1);
21     }
22     int ans=-1;
23     for(int i=1;i<=cnt;i++)ans=max(ans,dp[i]);
24     printf("%d\n",ans);
25     memset(dp,0,sizeof(dp));
26     dp[1]=1;
27     for(int i=2;i<=cnt;i++)
28     {
29         int tmp=0;
30         for(int j=1;j<=i-1;j++)
31         {
32              if(a[j]<a[i])tmp=max(tmp,dp[j]);
33         }
34         dp[i]=max(dp[i],tmp+1);
35     }
36     ans=-1;
37     for(int i=1;i<=cnt;i++)ans=max(ans,dp[i]);
38     printf("%d\n",ans);
39     return 0;
40 }
41 /*1 2 3 4 5*/
42 /*
43 389 207 155 300 299 170 158 65
44 */

然后便是单调栈的写法（一开始以为是单调队列，但是单调队列是维护需要出队的，用来缓存数组，优化时间复杂度，显然这道题并不用）

单调栈的思路就是维护一个单调的栈，每次寻找最底层比它大（或小）的位置将当前元素插入，最后栈内有多少个元素就是答案

那么插入的过程呢，对，用二分来维护，这样才能保证是每次log

那么我们来看一下这个二分

for(int i=2;i<=cnt;i++)
    {
        int l=1,r=top,mid,tt=top+1;
        while(l<=r)
        {
            mid=(l+r)/2;
            if(stk[mid]>=a[i])l=mid+1;
            else r=mid-1,tt=mid;
        }
        if(tt==top+1)top++;
        stk[tt]=a[i];
    }
for(int i=2;i<=cnt;i++)
    {
        int l=1,r=top,mid,tt=top+1;
        while(l<=r)
        {
            mid=(l+r)/2;
            if(stk[mid]<a[i])l=mid+1;
            else r=mid-1,tt=mid;
        }
        if(tt==top+1)top++;
        stk[tt]=a[i];
    }

这个tt=mid，也就是记录ans的地方到底应该加在哪里呢，之前是背模板，以为就是在r那里，但是不是这样的，

应该是哪个符合你想要的在哪里记录ans，也就是有一个满足就记录一下

然后就没什么问题了，注意对top指针的维护就好；

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 int cnt,head,tail,ans=-1,top=1;
 6 int a[100011];
 7 int stk[100011];
 8 int main()
 9 {
10     while(scanf("%d",&a[++cnt])!=EOF)continue;cnt--;
11     stk[1]=a[1];
12     for(int i=2;i<=cnt;i++)
13     {
14         int l=1,r=top,mid,tt=top+1;
15         while(l<=r)
16         {
17             mid=(l+r)/2;
18             if(stk[mid]>=a[i])l=mid+1;
19             else r=mid-1,tt=mid;
20         }
21         if(tt==top+1)top++;
22         stk[tt]=a[i];
23     }
24     printf("%d\n",top);
25     memset(stk,0,sizeof(stk));
26     stk[1]=a[1],top=1;
27     for(int i=2;i<=cnt;i++)
28     {
29         int l=1,r=top,mid,tt=top+1;
30         while(l<=r)
31         {
32             mid=(l+r)/2;
33             if(stk[mid]<a[i])l=mid+1;
34             else r=mid-1,tt=mid;
35         }
36         if(tt==top+1)top++;
37         stk[tt]=a[i];
38     }
39     printf("%d\n",top);
40     return 0;
41 }

By 浅夜_MISAKI