洛谷 1020 导弹拦截 （LIS，贪心，二分）

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题意：找最长不上升子序列和最少的不上升子序列划分个数。

题解：

用O(n*n)的复杂度只能过一半。常规做法是用贪心二分优化：用数组保存结尾的数，显然结尾的数越大越好。

对于a[i]，如果a[i]<=f[len],那么就就直接将a[i]加入，否则在前面二分，更新前面的结尾。

然后第二问有一个组合数学的定理：最少的不上升子序列划分数等于最长下降子列的长度。//之前C4比赛L2列车调度也用过这个定理，博客内有题解。

#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int a[maxn];
int f[maxn];
int main()
{
   int n=0;
   int l,r,mid;
   while(scanf("%d",&a[++n])!=EOF)continue;
   n--;
   f[0]=1234123412;//这个数要大于50000，不然可能你就无法更新
   int ans1=0;
   for(int i=1;i<=n;i++){
          if(f[ans1]>=a[i]){
                f[ans1+1]=a[i];//结束点为a[i]
                ans1++; //当前最长不上升序列的长度加一
       }
       else {//二分查找
              l=0;r=ans1;
              while(l<r){
                     mid=(l+r)/2;
                    if(f[mid]>=a[i])l=mid+1;
                    else {
                        r=mid;    
              }
           }
           if(l!=0)f[l]=a[i];
       }
   }
   cout<<ans1<<endl;//输出第一问的答案
     memset(f,-1,sizeof(f));//这次前面要尽量小了，不然又无法更新
   int ans2=0;
   for(int i=1;i<=n;i++){
          if(f[ans2]<a[i]){
                f[ans2+1]=a[i];//结束点为a[i]
                ans2++; //当前最长上升序列长度加一
       }
       else {//二分查找
              l=0;r=ans2;
              while(l<r){
                     mid=(l+r)/2;
                    if(f[mid]>=a[i])r=mid;
                    else {
                        l=mid+1;    
              }
           }
          f[l]=a[i];
       }
   }
   cout<<ans2<<endl;//输出第二个答案
}

然后还看到一种比较清奇的做法。还是O（n*n）的复杂度，但是进行了一个小优化就可以达到200分。

i	1	2	3	4	5	6	7	8
a	389	207	155	300	299	170	158	65
dp	1	2	3	2	3	4	5	6

常规dp用dp数组记录以i结尾的最长不上升子序列。注意到，如果dp相等那么后面出现的高度一定比前面的大，因为如果后面的小就直接接在前面那个后面接上了。所以利用这层大小关系，我们可以贪心：对于一个dp值只与最后的那个比较。

代码：

#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[100005],dp[100005],d[100005],n,temp;
int main()
{
	int i,j,ans=1;
	while(~scanf("%d",&a[++n]));
	n--;//最后一个是EOF
	for(i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=1;
		for(j=temp;j>0;j--){
			if(a[i]<=a[d[j]]){
				dp[i]=dp[d[j]]+1;
				break;
			}
		}
		temp=max(temp,dp[i]);
		d[dp[i]]=i;
	}
	printf("%d\n",temp);
	temp=0;
	for(i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=1;
		for(j=temp;j>0;j--){
			if(a[i]>a[d[j]]){
				dp[i]=dp[d[j]]+1;
				break;
			}
		}
		temp=max(temp,dp[i]);
		d[dp[i]]=i;
	}
	printf("%d\n",temp);
    return 0;
}