正题

平时我们用的都是Dinic算法，每次bfs之后，我们习惯用dfs来找增广路。时间复杂度是 $O(n^2*m)$ 。而且有时候很接近上界。

ISAP给这个Dinic算法带来了许多优化：

第一个

I表示的是improved，也就是说我们不用bfs那么多遍，我们可以通过每一次修改分层图的标号h来达到这个目的，怎么修改呢？

考虑一个点一开始可以到达的点，存在条件 $h[x]+1=h[y]$ ，其他有流量的边但是不可以到达的，说明一定在它之前到达了。

$h[k]<h[x]+1$ ，k表示的是有流量但是不可以到达的点。如果到当前点x的流量不能被分完，那么说明需要更多点来满足到达x的流量。

这时，我们把 $h[k]$ 中的最小值+1就可以达到我们的目的，因为总会加到 $h[x]+1$ .特别的，当汇点的h等于n+1的时候，退出。（因为肯定有一个点被重复经过了两遍

第二个

前项弧优化，就是当x点的流量流完之后，下次过来的时候，可以从上次流量用尽的地方继续流，因为前面的流量必定为0.

这时我们需要做的就是bfs一遍，然后不断dfs了。

好像有点麻烦。

小小的优化和代码简写方法：

1.我们倒过来bfs，那么h记录的就是到end的最短距离，也就是说， $h[x]$ 会被出边的最小的 $h[y]$ 更新，这时如果我们在x点没有用尽流量，我们需要更多的点，我们就把 $h[x]++$ 就好了，因为这时不能去到的点一定比 $h[x]$ 大。（仔细想想为什么

2.发现断层的时候，也是不行的。我们用一个gap来记录第i层的点有多少个，那么发现第i层的点从有变为没有时，就结束。

代码比Dinic要简短。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#define inf 2147483647
using namespace std;

int n,m,begin,end;
struct edge{
	int y,next,c;
}s[240010];
int first[10010],len=1,d[10010];
int h[10010];
int gap[10010];
queue<int> f;

void ins(int x,int y,int c){
	len++;
	s[len]=(edge){y,first[x],c};h[x]=first[x]=len;
	len++;
	s[len]=(edge){x,first[y],0};h[y]=first[y]=len;
}

void bfs(){
	++gap[d[end]=1];f.push(end);
	while(!f.empty()){
		int x=f.front();f.pop();
		for(int i=h[x];i!=0;i=s[i].next){
			int y=s[i].y;
			if(d[y]==0) ++gap[d[y]=d[x]+1],f.push(y);
		}
	}
}

int dfs(int x,int t){
	if(x==end) return t;
	int my,tot=0;
	for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){
		int y=s[i].y;
		if(d[x]==d[y]+1 && s[i].c>0){
			my=dfs(y,min(s[i].c,t-tot));
			tot+=my;s[i].c-=my;s[i^1].c+=my;
		}
		if(t==tot) {
			first[x]=i;
			return t;
		}
	}
	if(!(--gap[d[x]])) d[begin]=n+1;
	++gap[++d[x]];first[x]=h[x];
	return tot;
	
}

void Max_Flow(){
	bfs();
	int flow=dfs(begin,inf);
	while(d[begin]<=n) flow+=dfs(begin,inf);
	printf("%d\n",flow);
}

int main(){
	scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&begin,&end);
	int x,y,c;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&c);
		ins(x,y,c);
	}
	Max_Flow();
}

学习笔记第三十一节：ISAP

正题

第一个

第二个

小小的优化和代码简写方法：

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