(2016四川高考数学解答压轴题)设函数$f(x)=ax^2-a-\ln x,a\in R$.
1)讨论$f(x)$的单调性;
2)确定$a$的所有可能值,使得$f(x)>\dfrac{1}{x}-e^{1-x}$在区间$(1,+\infty)$内恒成立.
分析:
1)略
2)设$g(x)=a(x^2-1)-\ln x-\dfrac{1}{x}+e^{1-x}$
当$a\ge \dfrac{1}{2}$时,
$g(x)\ge \dfrac{1}{2}(x^2-1)-\ln x-\dfrac{1}{x}+e^{1-x}$
记右侧函数为$h(x)$,导数为$h^{'}(x)=x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-e^{1-x}$.
由熟悉的$\ln x\le x-1$得$\dfrac{1}{x}\ge e^{1-x}$
故$h^{'}(x)\ge x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{(x-1)(x^2+x-1)}{x^2}>0$
（此处也可不通过放缩而是进一步求二阶导数得到$h^{'}(x)$的正负性）
故$h(x)$单调递增,而$h(1)=0$,从而$g(x)\ge h(x)>0$
当$a<\dfrac{1}{2}$时
$g(x)<a(x^2-1)-\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}(ax^2+ax-1)]$
容易知道存在$x_0\in (1,+\infty)$使得$g(x_0)<0$
综上所述,实数$a$的取值范围为$[\dfrac{1}{2},+\infty)$
备注:
1.$a$的分类标准可以由洛必达法则$(L.Hospital Rules)$ 得到启示.
2.几个常见的放缩:
拉格朗日放缩$\dfrac{x}{x+1}\le \ln (x+1)\le x$
泰勒展开放缩$x-\dfrac{x^2}{2}\le \ln (x+1)\le x$
对数平均放缩$\dfrac{2x}{2+x}\le \ln(x+1)\le\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}$