长链剖分（学习笔记）

很久很久以前 $erkkierkko$ 给我们分享了一下这个东西，好像和 $dsu\ on\ tree$ 的思想很像，都是长链直接转移，短链暴力算

其中有一个很有意思的东西就是指针动态分配数组空间，因为一个儿子的信息刚好是父亲往左或者往右移一步，比如说深度，如果一个 $dp$ 数组是以深度为下标的话，就可以让指针左移右移那样来分配空间，而短链长度加起来不会超过 $n$ ，所以说短链可以直接开新空间。

直接上例题吧
CF1009F Dominant Indices
记录 $f[u][i]$ 表示 $u$ 为根的子树中到根距离为 $i$ 的点的个数
$f[u][i]=\sum_{v}f[v][i-1]$ ，如此就可以用上述做法来解决空间问题

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 1000005
using namespace std;

inline int rd(){
    int x=0,f=1;char c=' ';
    while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
    while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}

int n,cnt,head[N],to[N<<1],nxt[N<<1];
int len[N],tmp[N],son[N],*f[N],*id=tmp,ans[N];

inline void add(int x,int y){
    to[++cnt]=y; nxt[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
}

void dfs(int u,int fa){
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
        if(to[i]!=fa){
            dfs(to[i],u);
            if(len[to[i]]>len[son[u]]) son[u]=to[i];
        }
    len[u]=len[son[u]]+1;
}

void DP(int u,int fa){
    f[u][0]=1;
    if(son[u]) f[son[u]]=f[u]+1,DP(son[u],u),ans[u]=ans[son[u]]+1;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i]; if(v==fa||v==son[u])continue;
        f[v]=id; id+=len[v]; DP(v,u);
        for(int j=1;j<=len[v];j++){
            f[u][j]+=f[v][j-1];
            if(f[u][j]>f[u][ans[u]]) ans[u]=j;
            else if(f[u][j]==f[u][ans[u]]) ans[u]=min(ans[u],j);
        }
    }
    if(f[u][ans[u]]==1) ans[u]=0;
}

int main(){
    n=rd();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=rd(),y=rd();
        add(x,y); add(y,x);
    }
    dfs(1,0); f[1]=id; id+=len[1];
    DP(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

bzoj4543: [POI2014]Hotel加强版
同样的方法
设 $f[u][i]$ 表示 $u$ 为根的子树，到 $u$ 距离为 $i$ 的点的个数， $g[u][i]$ 表示到中心的距离为 $d$ 且 $u$ 到中心距离为 $d-i$

$f[u][0]=1$
$ans+=g[u][0]$

枚举出边，一边枚举一边更新保证不重复计算，每次枚举出边的时候再枚举 $i$

$f[u][i]+=f[v][i-1]$

$g[u][i-1]+=g[v][i]$

$g[u][i+1]+=f[u][i+1]\times f[v][i]$

$ans+=f[u][i-1]\times g[v][i]+g[u][i+1]\times f[v][i]$

然后再用指针动态分配空间的方法就好了， $f,g$ 的转移刚好是反着的

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 100005
#define LL long long
using namespace std;
 
inline int rd(){
    int x=0,f=1;char c=' ';
    while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
    while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
 
int n,cnt,head[N],to[N<<1],nxt[N<<1];
int len[N],son[N];
LL ans,*f[N],*g[N],tmp[N<<2],*id=tmp;
 
inline void add(int x,int y){
    to[++cnt]=y; nxt[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
}
 
void dfs(int u,int fa){
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i];
        if(v!=fa){
            dfs(v,u);
            if(len[v]>len[son[u]]) son[u]=v;
        }
    }
    len[u]=len[son[u]]+1;
}
 
void DP(int u,int fa){
    if(son[u]) f[son[u]]=f[u]+1,g[son[u]]=g[u]-1,DP(son[u],u);
    f[u][0]=1; ans+=g[u][0];
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i]; if(v==fa||v==son[u]) continue;
        f[v]=id; id+=len[v]<<1; g[v]=id; id+=len[v]<<1; DP(v,u);
        for(int j=0;j<len[v];j++){
            if(j) ans+=f[u][j-1]*g[v][j];
            ans+=g[u][j+1]*f[v][j];
        }
        for(int j=0;j<len[v];j++){
            g[u][j+1]+=f[u][j+1]*f[v][j];
            if(j) g[u][j-1]+=g[v][j];
            f[u][j+1]+=f[v][j];
        }
    }
}
 
int main(){
    n=rd();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=rd(),y=rd();
        add(x,y); add(y,x);
    }
    dfs(1,0);
    f[1]=id; id+=len[1]<<1; g[1]=id; id+=len[1]<<1; DP(1,0);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

长链剖分（学习笔记）

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