关于长链剖分
长链剖分,也属于树链剖分的一种方式,但是其与经典的重链剖分又不太一样。
在重链剖分中,我们评判儿子重或轻的方式是比较其子树节点数量。
在长链剖分中,我们以子树中最深的叶节点深度的大小来比较。
其他步骤与重链剖分类似,都是两遍DFS即可解决,都是O(n)的复杂度。
接下来,我们来看两个长链剖分的经典问题.
1.询问某个点的k级祖先
时间复杂度要求: O(nlogn).
需要技能:
- 长链剖分
- 倍增
为什么要长链剖分：
我们利用的性质是：任意一个点的k级祖先所在链的链长一定大于等于k。
证明：
1.如果这个点和他的k级祖先在一条链上,那么结论显然成立。
2.如果不在一条链上,那么一开始这个祖先没有选择这棵子树是因为别的子树更深,故而所在链一定是大于k的,结论仍然成立。
操作步骤
- 预处理
- 对树进行长链剖分，记录每个点的链头和深度
- 倍增预处理出每个点2^n级祖先
- 如果某条链的长度是len，那么在链头处记录链头向上的len个祖先，并记录向下的len个链的元素
- 记录每个数最高位1是多少
总时间复杂度: O(nlogn)
- 查询
先利用倍增数组跳K的最高位的1层,设剩余层数为k,可以发现
利用之前证明的性质,我们可以发现当前节点所在链链长一定严格大于k。如果链头在当前节点的k级祖先上面,那么我们利用链头向下的数组可以O(1)得到答案，否则利用向上的数组同样可以O(1) 得到答案。
2.统计每个点子树中以深度为下标的可合并信息
这个应用的思想十分类似Dsu on tree。
思想是当前结点直接继承重儿子的信息，轻儿子信息暴力统计。
因为长链剖分的特殊性，因此这个应用仅限于以深度为下标。
更一般的就只能使用Dsu on tree做到O(nlogn)的复杂度了。
更具体地：
若需求出点x的信息，首先从重儿子继承。
因为以深度为下标，因此只需要对数组进行移位即可。
后面我们会提到移位的实现方法。
接着，轻儿子的信息暴力合并到当前的信息中。
时间复杂度O(n)。
分析如下：
每个点x只会暴力统计其所有轻儿子的信息，而每个轻儿子的信息大小为该轻儿子所在长链长度。
而当递归到x的父节点fa(x)时，若xx不是fa(x)的重儿子，则fa(x)会暴力统计大小为x长链长度的信息。
故，每个长链只会对转移的复杂度做一次大小为其长度的贡献。
因此根据性质1，总时间复杂度为O(n)。
移位的实现方法：
本处仅提到一种实现方式，但方法不只有这一种。
用指针维护动规数组，在重儿子传递给父亲时将指针左移/右移一位。（左移还是右移根据转移方程决定）
而给其他轻儿子分配不相交的内存即可。
不难发现，这样实现的空间复杂度仍为O(n)。
特别注意，这样实现也有相应的缺点，即若动规的数组高于一维，那么数组是一次性的，不能在完成转移后查询中间过程的值。
原因是部分内存被共用掉了。
小结
长链剖分在维护一些与深度有关的信息时十分强力有效。
在考虑题目时灵活运用其性质往往可以得到较好的结果。
例题:
- [BZOJ3252] 攻略]
- [WC2010]重建计划
- [BZOJ4543] Hotel 加强版
参考资料: - 长链剖分之O(nlgn)-O(1)求k级祖先
- 长链剖分学习总结-[Bill Yang]