【概率期望】题目总结

今天讲了讲数学，期望这做了四道题，一块写个博客记一下

CF540D Bad Luck Island
容易想到设 $f[i][j][k]$ 表示剩下 $i$ 个 $r$ ， $j$ 个 $s$ ， $k$ 个 $p$ 时候的概率，然后枚举遇见的是哪两种人，算一下概率就好了，但算的时候注意不能直接算，因为同种的人不能遇见，所以要减掉

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 105
using namespace std;
int r,s,p;
double f[maxn][maxn][maxn],ans[3];

int main(){
	scanf("%d%d%d",&r,&s,&p);
	f[r][s][p]=1;
	for(int i=r;i>=0;i--)
		for(int j=s;j>=0;j--)
			for(int k=p;k>=0;k--){
				if(j && i) 
				f[i][j-1][k]+=f[i][j][k]*2*i*j/(double)((i+j+k)*(i+j+k-1)-i*(i-1)-j*(j-1)-k*(k-1));
				if(k && j) 
				f[i][j][k-1]+=f[i][j][k]*2*j*k/(double)((i+j+k)*(i+j+k-1)-i*(i-1)-j*(j-1)-k*(k-1));
				if(i && k) 
				f[i-1][j][k]+=f[i][j][k]*2*i*k/(double)((i+j+k)*(i+j+k-1)-i*(i-1)-j*(j-1)-k*(k-1));
			}
	for(int i=r;i>=0;i--) ans[0]+=f[i][0][0];
	for(int i=s;i>=0;i--) ans[1]+=f[0][i][0];
	for(int i=p;i>=0;i--) ans[2]+=f[0][0][i];
	printf("%.12lf %.12lf %.12lf\n",ans[0],ans[1],ans[2]);
	return 0;
}

CF696B Puzzles
因为对于一个节点 $v$ ，它父亲的子节点在它前面的概率都是 $0.5$ ，所以就可以预处理节点 $siz$ ， $f[v]=f[u]+0.5\times (siz[u]-siz[v]+1)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 100005
using namespace std;

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char c=' ';
	while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
	while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}

int n,siz[N],cnt,to[N],nxt[N],head[N];
double f[N];

inline void add(int x,int y){
	to[++cnt]=y; nxt[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
}

void dfs1(int u,int fa){
	siz[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
		int v=to[i]; if(v==fa)continue;
		dfs1(v,u); siz[u]+=siz[v];
	}
}

void dfs2(int u,int fa){
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
		int v=to[i]; if(v==fa)continue;
		f[v]=f[u]+0.5*(siz[u]-siz[v]+1);
		dfs2(v,u);
	}
}

int main(){
	n=rd();
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int fa=rd(); add(fa,i);
	}
	f[1]=1;
	dfs1(1,0); dfs2(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.1lf ",f[i]);
	return 0;
}

CF16E Fish
$2^n$ 枚举还剩下的鱼的集合，然后枚举那两个鱼遇见，算每条鱼被吃掉的概率

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 20
using namespace std;
int n,ed,cnt[(1<<18)+5];
double a[maxn][maxn],f[(1<<18)+5];

inline int calc(int x){
	int ret=0;
	while(x){
		if(x&1) ++ret; x>>=1;
	} return ret;
}

int main(){
	scanf("%d",&n); ed=1<<n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%lf",&a[i][j]);
	for(int i=0;i<ed;i++) cnt[i]=calc(i);
	f[ed-1]=1;
	for(int i=ed-1;i>=1;i--)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if((1<<(j-1))&i)
			for(int k=j+1;k<=n;k++)
				if((1<<(k-1))&i){
					f[i^(1<<(k-1))]+=f[i]*2*a[j][k]/cnt[i]/(cnt[i]-1);
					f[i^(1<<(j-1))]+=f[i]*2*a[k][j]/cnt[i]/(cnt[i]-1);
				}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%.6lf ",f[1<<(i-1)]);
	return 0;
}

CF601C Kleofáš and the n-thlon
一个有意思的题

注意到除了给定的这个人，其他人的水平都是一样的，这意味着我们可以先算出一个人的，再 $\times (m-1)$ 就是其他所有人的，所以就可以设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 场比赛得到了 $j$ 分的概率，这样给定人的排名期望就是分数比他小的那些值的和再 $+1$

滚动数组优化一下空间，然后记一个前缀和优化时间复杂度

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 105
#define maxm 100005
using namespace std;

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char c=' ';
	while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
	while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}

int n,m,sc,a[maxn];
double f[2][maxm],sum,ans;

int main(){
	n=rd(); m=rd();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=rd(); sc+=a[i];
	}
	if(m==1) return puts("1"),0;
	f[0][0]=1; int now=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum=f[now^1][0]; memset(f[now],0,sizeof f[now]);
		for(int j=1;j<=n*m;j++){
			f[now][j]+=sum,sum+=f[now^1][j];
			if(j>=a[i]) f[now][j]-=f[now^1][j-a[i]];
			if(j>=m) sum-=f[now^1][j-m];
			f[now][j]/=(m-1);
		}
		now^=1;
	}
	for(int i=n;i<sc;i++) ans+=f[now^1][i];
	printf("%.15lf\n",ans*(m-1)+1.0);
}

一些小技巧：
$1.当合法的不好算的时候可以用总数减去不合法的$
$2.当一些东西的性质相同时可以先算出某一个，再用它去算所有的$
$3.状态设计很重要，按情况可以设由起点开始和由终点倒推，一般是哪个好确定就从哪个开始$

【概率期望】题目总结

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