快速幂（二进制）

快速幂问题

a^b
直接递归或迭代的话，在数值比较大的时候时间会很长。

int pow1(int a,int b){
   int r=1;
   while(b--) r*=a;
   return r;
} 

用二进制来替换十进制。
以a^b为例

1. 把b换成二进制
2. 该二进制数第i位的权为2^(i-1)
   如 a¹¹
   11的二进制为1011；
   11=2³*1+2²*0+2¹*1+2⁰*1
   那么
   a¹¹=a^{2的零次幂}+a^{2的一次幂}+a^{2的三次幂}

对此我们可以用以下代码实现

//迭代（二进制）
int pow2(int a,int b){
    int r=1,base=a;
    while(b!=0){
    if(b%2) r*=base;
    base*=base;
    b/=2;
    }
    return r;
}

//递归（二进制）
int f(int m,int n){   //m^n
    if(n==1) return m;
    int temp=f(m,n/2);
    return (n%2==0 ? 1 : m)*temp*temp;
}

又对于二进制我们有位处理

b & 1  /*取b二进制的最低位，判断和1是否相同，相同返回1，否则返回0*/
b >> 1 /*把b的二进制右移一位，即去掉其二进制位的最低位*/

于是有以下两种算法

//快速幂（位运算）
int pow(int a,int b){
  if(n==0) return 1;
  else {
    while((b&1)==0){
      b>>=1;
      a*=a;
    }
  }
  int result=a;
  b>>=1;
  while(b!=0){
    a*=a;
    if(b&1) result*=x;
    b>>=1;
  }
  return result;
}

//快速幂（位运算）
int pow4(int a,int b){
  int r=1,base=a;
  while(b){
    if(b&1) r*=base;
    base*=base;
    b>>=1;
  }
  return r;
}

可以看到一般的十进制求幂的时间复杂度为O(N)，而二进制的时间复杂度为O(logN)，大大的减少了运算时间。