第十八讲 傅里叶变换

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一，傅里叶级数的复数形式：

• 一般形式：

1. ，周期，
2. ，n为任意整数
3. ，n为任意整数

• 利用逆向欧拉公式（第十讲第二节）展开：
• 
• 原式：
• 第一项：
• 第三项：当时，
• 代入原式：
• 当时：
• 当时：
• 当时：
• 总结：，

二，傅里叶变换：

• 用表示周期为T的，
• 对于任意，其中和都是不变的
• 唯一改变的是
• 频谱如图（图中的和意思相同）：
• 
• 两个不同角速度之间的间距，如图（图中的和意思相同）：
• 
• 当周期时，周期函数拓展到非周期函数，
• 此时间距，原本离散的角速度变连续了，原本的n从只能取整数变成可以取整个实数
• 这个角速度公式才能在整个实数轴上成立，如图（图中的和意思相同）：
• 
• 将傅里叶系数代入周期函数：
• 
• 将也代入：
• 
• 当时：，，
•  
• ，这个式子被称作逆变换
• 而其中，被称作傅里叶变换

三，傅里叶变换的应用（滤波）：

• 首先将进行傅里叶变换，查看有哪些角速度（角频率）的波需要去掉，再用滤波器滤掉（滤掉高频波最简单的手段就是对傅里叶级数进行积分）如图（黑线是原函数，蓝线是一重积分，绿线是二重积分）：
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