霍夫变换原理

看到网上一堆讲原理讲得乱七八糟还抄袭的博客，把自己看懵了……转手一wiki发现写得很清晰，这里贴上来供学习。

对于直角坐标系（笛卡尔坐标系）平面的一条直线的斜截式：
$y=k_0 x+b_0$

这里将 $(k_0 ,b_0 )$看做参数空间 $(k,b)$ 中的一点，我们知道当直线与x轴垂直时，k为无穷大，因此斜截式无法表示全部的直线。用Hesse normal form来表示直线的参数（这里是将参数的表示换了，而不是将直线从直角坐标系换到极坐标系）

所以： $k =-\frac{cos\theta} {sin\theta }$ , $b = \frac{r}{sin\theta}$ ,代入原斜截式方程得到方程的表达式如下：

$y = -\frac{cos\theta}{sin\theta} x + \frac{r}{sin\theta}$

整理可得 $r=xcos\theta + ysin\theta$，因此，给定一个点 $(x_0,y_0)$，通过该点的所有直线的集合（参数是斜率和截距，这里用ρ、θ表示）表示为：

$r=x_0cos\theta_ + y_0sin\theta\\=\sqrt{x_o^2+y_0^2}(\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}+\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}})\\=\sqrt{x_0^2+y_0^2}(cos\gamma cos\theta + sin\gamma sin\theta ) \\= \sqrt{x_0^2+y_0^2}cos(\theta-\gamma)$

因此，判断两个点是否共线的问题，在经过霍夫变换之后，变成判断通过两点的所有直线是否相交的问题。又因为通过一个点的所有直线在(r,θ)平面上代表一条曲线，画出任意两个点的两条曲线，若相交，就表示这两个点在同一条直线上。