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投票原理
霍夫空间
线的极坐标表示
投票原理
就像我之前说的，检查每一行是不可能的，即使是一台非常非常快的电脑。
我们要做的是让数据告诉我们，让数据决定线在哪里。
因为这是民主，我们该怎么办?
我们要做的是投票。
因此，投票是一种通用的技术，我们让特性投票给所有与之兼容的模型。
它的工作方式很简单：
1、循环遍历所有特征（特征指的是小的边缘点），每次为模型参数投票。
现在，对于我所需要的大多数特征来说，都是小的边缘点。
并且每个边缘点将对模型参数 或 其满意 或 一致的不同模型参数集投票。
2、寻找得到大量选票的模型参数。
当我们都完成了第一步，我们接下来需要寻找很多选票的模型参数，这些是我们要实例化的参数模型。
为什么投票有效?
嗯，投票的作用就像米老鼠、唐老鸭和劳拉·克劳馥永远不会当选加州州长一样。
第一：噪声和杂乱的特性也会投票，就像真实的特性一样。但通常情况下，他们的投票是跟大多数的优秀特征不一致。
第二：如果没有观察到一些特性，模型可以跨越多个片段。
另一个好处是：
即使圈子的一部分被遮挡而且没有任何特征可以投票，因为圈子的其余部分获得了很多选票，我们能够找到圆圈。
我们今天要用的例子是关于拟合线。
为了拟合直线，我们要问几个问题：
第一个问题：给定属于直线的点，直线是什么?
第二个问题：那里有多少条线？
第三个问题：哪些点属于哪条线的？
现在我们主要集中在这堂课的第一个问题，事实上，我们将要做的大部分工作，
但是我们正在讨论的内容的拓展使得做问题2和问题3时要变得很容易。
我们今天要讲的方法叫做霍夫变换（Hough Transform），这是一种投票技术，可以用来回答所有这些问题。
主要思想：
1、每个边缘点都会投票兼容的线条；
2、寻找那些能得到很多选票的线条；
也就是说，它会投票给任何通过它的旧线路，然后你就会寻找得到很多票的线条。
所以可能有两条，三条，四条线，你可以找到它们。
顺便说一下，如果你跟踪哪个点投给了哪条线，你也可以回去说哪个点属于那条线。
霍夫空间
我要给你们讲一下它是如何工作的，霍夫变换的关键是霍夫空间。
这是左边的图像空间中的一条线，我们要构造的是霍夫空间，右边是霍夫参数空间。
在这个表述中，我们有两个参数 m 和 b 。
所以，对于这条直线 ，它在Hough空间中的
，
处表示：
这就是霍夫空间的意义所在。
这里的关键思想是：图像中的直线对应于霍夫空间中的一点。
现在我们要做一些不同的事情。
假设在图像空间中只有一个点，我们把这个点放在（x，y） 处：
那么，经过这一点的直线的方程是什么呢?
在图像空间中，我们知道经过这一点的直线满足 m 和 b。
它会满足方程 ，为了通过点（
,
）它必须有一个 m 和一个 b 使这个方程成立。
通过一些简单的代数重排，就得到 ，这是m b空间中直线的方程：
实际上，它是一条斜率为 ，截距为
的直线：
这里的思想是：图像空间中的一点是霍夫空间中的一条线。
这是对偶性。
如果增加一个点会怎样?
这是另一条直线：
这是一条直线 ：。
现在有一个很酷的问题：什么样的直线是跟这两点的情况符合的?
它是Hough空间中的这两条线相交的地方：
因为那是m和b，它与穿过（，
）的线 和 穿过（
，
）的线是一致的。
女士们，先生们，男孩们，女孩们，所有感兴趣的人，这就是我们如何从点中找到直线的方法。
现在我们要把它简化成一个算法，我们先用图形来展示给你看，然后再讲算法。
基本上，每个点都给了Hough空间中的一条直线。
我要做的是：我创建一个表格，这里是m和b，它是由一组箱子组成的：
每一个点都对经过的箱子进行投票，所以它会对经过的每个箱子投一票。
你收集了每个箱子的票数情况。每一个点都投过票，哪一个票数最多，那就是你的路线：
因此，基本上，我们将把选票投进箱子，然后找到最多选票的箱子。求这个点坐标就求出直线了。
但这里是用极坐标表示，因为极坐标更加细化，我们来看看下面这个例子：
在真正的代码和数学中实现这个之前，我们需要重新考虑一下出现以下这种情况该怎么表示：
这样的话，会出现好几条垂直线在一起，斜率m等于无穷大，而截距b怎么取值呢？
好的，我们要用一个更健壮的线条表示，这样我们就不会有任何不好的数值问题了。
我们要用的是直线的极坐标表示。
线的极坐标表示
d：从直线到原点的垂直距离。
垂线与x轴的夹角。
在极坐标表示中，这条紫色的线由两个量定义。
其中一个就是这个距离d，这是一条直线到原点的垂直距离：
它是这条紫色的直线上离原点最近的点的距离。
第二个参数是：这条垂直线与x轴的夹角（），如果你愿意，也可以是直线与坐标轴的夹角，
没关系，你只需要选择一个角度：
基本上我们得到的是一个距离和一个角度的极坐标（d，）。
求 d 的距离公式基本上是这样表示：
这个公式是由直线公式转换而来：
经过化简之后，我们可以得出：
这里的 r 就是 d，也就是极径的距离。或者称向某个方向为移动了多少单位。
所以它有点丑，如果你喜欢三角学，那就太美了。如果你喜欢代数，那就太难看了，它比y = mx + b更难看。
但这个公式没有这个问题，我们的任何直线都是不规则的。你可以有任何你想要的方向，可以任意移动。
你可以直接穿过原点。d可以是0，也可以达到你需要的大小。
有趣的是，如果你看这个方程（图像空间中的点现在是Hough空间中的正弦段），
如果我们已经知道 x 和 y，我们剩下的是 d 和 是正弦曲线：
这就是为什么我们说：图像空间中的一点现在是霍夫空间的正弦曲线，我们一会儿会看到一个例子。
看，之前，图像空间中的一个点是霍夫空间中的一条线，霍夫空间中的一个点是图像空间中的一条线。
因为我们已经介绍了余弦（cos）和正弦（sin），它仍然是对偶性，但它不再是简单的点和线之间的关系。
关于这个的另一个评论，这里有一个冗余或歧义。
我这样画，这里是d：
所以如果 d 只能是正的：
这条线必须能够一路旋转：
因此 必须从 0 到 2π，也就是 0度 到 360度 。
但如果 d 可以是正的 或 可以是负的：
那么 只需要从 0 到 π ，也就是 0度 到 180度：
或 0 到 -π，也就是0度 到 -180度。这个想法是你只需要180度的覆盖范围。
你用哪种方法做并不重要，我们的算法会用一种特殊的方式来做。
但是这里有一个权衡，如果你让 d 从正 到 负，上面是负的，那么只有它必须从 0 到 π 。
事实上，如果你将它作为图像的原点，你可以限制更多的东西。
如果你想说直线必须在图像中。然后，它限制了更多，因为它必须切断象限，因此 和 d 受到更多限制。
但这些只是你在如何编写算法方面做出的选择。
对三角函数加深学习：
学习：sin cos 等函数图像。
对极坐标知识加深理解：
https://blog.csdn.net/sw3300255/article/details/82756184
https://blog.csdn.net/sw3300255/article/details/82776368
加深理解霍夫变换原理：
https://www.cnblogs.com/php-rearch/p/6760683.html
https://blog.csdn.net/m0_37264397/article/details/72729423
——学会编写自己的代码，才能练出真功夫。