CS229 6.9 Neurons Networks softmax regression

SoftMax回归模型，是logistic回归在多分类问题的推广，即现在logistic回归数据中的标签y不止有0-1两个值，而是可以取k个值，softmax回归对诸如MNIST手写识别库等分类很有用，该问题有0-9 这10个数字，softmax是一种supervised learning方法。

在logistic中，训练集由 $\textstyle m$ 个已标记的样本构成： $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ ，其中输入特征 $x^{(i)} \in \Re^{n+1}$ （特征向量 $\textstyle x$ 的维度为 $\textstyle n+1$ ，其中 $\textstyle x_0 = 1$ 对应截距项）， logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 $y^{(i)} \in \{0,1\}$ 。假设函数(hypothesis function) 如下：

$\begin{align} h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}, \end{align}$

损失函数为负log损失函数：

$\begin{align} J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right] \end{align}$

找到使得损失函数最小时的模型参数 $\textstyle \theta$ ，带入假设函数即可求解模型。

在softmax回归中，对于训练集 $\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}$ 中的类标 $\textstyle y$ 可以取 $\textstyle k$ 个不同的值（而不是 2 个），即有 $y^{(i)} \in \{1, 2, \ldots, k\}$ (注意不是由0开始), 在MNIST中有K=10个类别。

在softmax回归中，对于输入x，要计算x分别属于每个类别j的概率 $\textstyle p(y=j | x)$ ，即求得x分别属于每一类的概率，因此假设函数要设定为输出一个k维向量，每个维度代表x被分为每个类别的概率，假设函数 $\textstyle h_{\theta}(x)$ 形式如下：

$\begin{align} h_\theta(x^{(i)}) = \begin{bmatrix} p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\ p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\ \vdots \\ p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta) \end{bmatrix} = \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\ e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\ \vdots \\ e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\ \end{bmatrix} \end{align}$

请注意 $\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }$ 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。当类别数 $\textstyle k = 2$ 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 $\textstyle k = 2$ 时，softmax 回归的假设函数为： $\begin{align} h_\theta(x) &= \frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} \end{align}$ ，对该式进行化简得到：

$\begin{align} h(x) &= \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} \end{align}$

另 $\textstyle \theta'$ 来表示 $\textstyle \theta_2-\theta_1$ ，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 $\textstyle \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }$ ，另一个类别概率的为 $\textstyle 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }$ ，这与 logistic回归是一致的。

其中 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1}$ 是模型的参数。把参数 $\textstyle \theta$ 表示为矩阵形式有， $\textstyle \theta$ 是一个 $\textstyle k \times(n+1)$ 的矩阵，该矩阵是将 $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k$ 按行罗列起来得到的：

$\theta = \begin{bmatrix} \mbox{---} \theta_1^T \mbox{---} \\ \mbox{---} \theta_2^T \mbox{---} \\ \vdots \\ \mbox{---} \theta_k^T \mbox{---} \\ \end{bmatrix}$

有个假设函数（Hypothesis Function），下面来看代价函数，根据代价函数求解出最优参数值带入假设函数即可求得最终的模型，先引入函数 $\textstyle 1\{\cdot\}$ ，对于该函数有：

$\textstyle 1\{$ 值为真的表达式 $\textstyle \}=1$ $\textstyle 1\{$ 值为假的表达式 $\textstyle \}=0$ 。

举例来说，表达式 $\textstyle 1\{2+2=4\}$ 的值为1 ， $\textstyle 1\{1+1=5\}$ 的值为 0 。

则softmax的损失函数为：

$\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right] \end{align}$

当k=2时，即有logistic的形式，下边是推倒：

另上式中的便得到了logistic回归的损失函数。

可以看到，softmax与logistic的损失函数只是k的取值不同而已，且在softmax中将类别x归为类别j的概率为：

$p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} }$ .

需要注意的一个问题是softmax回归中的模型参数化问题，即softmax的参数集是“冗余的”。

假设从参数向量 $\textstyle \theta_j$ 中减去了向量 $\textstyle \psi$ ，这时，每一个 $\textstyle \theta_j$ 都变成了 $\textstyle \theta_j - \psi$ ( $\textstyle j=1, \ldots, k$ )。此时假设函数变成了以下的式子：

$\begin{align} p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) &= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}. \end{align}$

也就是说，从 $\textstyle \theta_j$ 中减去 $\textstyle \psi$ 完全不影响假设函数的预测结果，这就说明 Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 $\textstyle h_\theta$ ，也就是说如果参数集合 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ 是代价函数 $\textstyle J(\theta)$ 的极小值点，那么 $\textstyle (\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots, \theta_k - \psi)$ 同样也是它的极小值点，其中 $\textstyle \psi$ 可以是任意向量，到底是什么造成的呢？从宏观上可以这么理解，因为此时的损失函数不是严格非凸的，也就是说在局部最小值点附近是一个”平坦”的，所以在这个参数附近的值都是一样的了。平坦假设函数空间的Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题。因此使 $\textstyle J(\theta)$ 最小化的解不是唯一的。但此时 $\textstyle J(\theta)$ 仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。

还有一个值得注意的地方是：当 $\textstyle \psi = \theta_1$ 时，我们总是可以将 $\textstyle \theta_1$ 替换为 $\textstyle \theta_1 - \psi = \vec{0}$ （即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 $\textstyle \theta_1$ （或者其他 $\textstyle \theta_j$ 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的 $\textstyle k\times(n+1)$ 个参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ （其中 $\textstyle \theta_j \in \Re^{n+1}$ ），我们可以令 $\textstyle \theta_1 = \vec{0}$ ，只优化剩余的 $\textstyle (k-1)\times(n+1)$ 个参数，这样算法依然能够正常工作。比如logistic就是这样的。

在实际应用中，为了使算法看起来更直观更清楚，往往保留所有参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)$ ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

目前对损失函数 $\textstyle J(\theta)$ 的最小化还没有封闭解（closed-form），因此使用迭代的方法求解，如（Gradient Descent或者L-BFGS），经过求导，得到的梯度公式：

$\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] } \end{align}$

$\textstyle \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ 本身是一个向量，它的第 $\textstyle l$ 个元素 $\textstyle \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}$ 是 $\textstyle J(\theta)$ 对 $\textstyle \theta_j$ 的第 $\textstyle l$ 个分量的偏导数。在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: $\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ ( $\textstyle j=1,\ldots,k$ ）。（ $\textstyle \nabla_{\theta_j} J(\theta)$ 为方向，a代表在这个方向的步长）

由于参数数量的庞大，所以可能需要权重衰减项来防止过拟合，一般的算法中都会有该项。添加一个权重衰减项 $\textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2$ 来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

$\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align}$

有了这个权重衰减项以后 ( $\textstyle \lambda > 0$ )，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为 $\textstyle J(\theta)$ 是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 $\textstyle J(\theta)$ 的导数，如下：

$\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j \end{align}$

通过最小化 $\textstyle J(\theta)$ ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

最后一个问题在logistic的文章里提到过，关于分类器选择的问题，是使用logistic建立k个分类器呢，还是直接使用softmax回归，这取决于数据之间是否是互斥的，k-logistic算法可以解决互斥问题，而softmax不可以解决，比如将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。 (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片

考虑到处理的问题的不同，在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。最后补一张k-logistic的图片：

CS229 6.9 Neurons Networks softmax regression

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