乘法逆元求解

1.乘法逆元定义:

如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。

2.费马小定理 求解乘法逆元：

假如a是一个整数，p是一个质数，那么是p的倍数，可以表示为

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成

解：由费马小定理 ap-1≡1 , 变形得 a*ap-2≡1(mod p)，若a,p互质,因为a*ap-2≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),则x=ap-2(mod p)。

3.扩展欧几里得

  已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式。

对ax≡1 (mod p)可以写作ax+py=1，为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。

扩展欧几里得求逆元代码：