【学习笔记】Baby Step Giant Step算法及其扩展

1. 引入

• Baby Step Giant Step算法（简称BSGS），用于求解形如 $a^x\equiv b(mod\ p)$（ $a,b,p\in \mathbb{N}$）的同余方程，即著名的离散对数问题。
• 本文分为 $(a,p)=1$ 和 $(a,p)\neq 1$ 两种情况讨论。

2. 方程 $a^x\equiv b(mod\ p)$ 的解性

• 因为若 $a^{x}\equiv a^{x+n}(mod\ p)$，则 $a^{x+i}\equiv a^{x+n+i}$。
• 由抽屉原理以及同余的性质得， $a^x$ 对 $p$ 的模具有周期性，最大周期不超过 $p$。
• 由这个周期性可得，方程有解，等价于在 $[0,p)$ 中有解。
• 由此我们只需要试图找到 $[0,p)$ 中的最小自然数解，就可以得到方程是否有解，以及根据指数模的周期性得到方程的通解。
• 下面我们只讨论求解方程的最小自然数解。

3. 求解 $a^x\equiv b(mod\ p)$ $(a,p)=1$

• Baby Step Giant Step它的名字就告诉我们，这个算法要将问题规模由大化小。
• 我们令 $t=\lceil \sqrt{p}\rceil$，那么我们所有 $[0,p)$ 的自然数都可以包含在集合 $\{x|x=it-j,\ i\in [1,t],\ j \in (0,t]\}$ 中。
• 我们只需要验证这个集合中是否存在解，即可验证原方程是否存在解。
• 我们考虑将方程表示为

$a^{it-j}\equiv b(mod\ p)$

• 根据 $(a,p)=1$，我们有

$a^{it}\equiv ba^j(mod\ p)$

• 我们发现等号两边的数我们都可以在 $O(\sqrt p)$ 的时间内枚举出来。
• 我们只需要 $O(\sqrt p)$ 枚举出所有 $ba^j\ mod\ p(\ j \in (0,t])$，然后把它们插入到哈希表当中，哈希表的对应位置储存这个值对应的最大的 $j$（因为要求最小自然数解，所以在 $i$ 相同的时候要使 $j$ 最大）。
• 然后 $O(\sqrt p)$ 从小到大枚举我们需要的 $a^{it}\ mod\ p(\ i\in [1,t])$，并在哈希表中查询是否有相等的值，若存在则取最小的 $i$ 及对应最大的 $j$，并将 $it-j$ 作为最小自然数解；否则若不存在则说明无自然数解。

inline int solve_BSGS(const int &a, const int &b, const int &p)
{
	int t = ceil(sqrt(p)); 
	std::map<int, int> hash; 
	//map实现hash表
	hash.clear(); 
	
	int tmp = b; 
	for (int i = 1; i <= t; ++i)
	{
		tmp = 1LL * tmp * a % p; 
		hash[tmp] = i; 
	}
	//插入b*a^j
	
	int pw = qpow(a, t, p); 
	tmp = pw; 
	for (int i = 1; i <= t; ++i)
	{
		if (hash.find(tmp) != hash.end())
			return i * t - hash[tmp]; 
		tmp = 1LL * tmp * pw % p; 
	}
	//查询a^(it)
	
	return -1; //返回无解
}

4. 求解 $a^x\equiv b(mod\ p)$ $(a,p)\neq 1$

• 对于这个方程，我们不能像上面那样求解的原因就是 $a$ 在模 $p$ 意义下不存在逆元，不能将 $a^{it-j}$ 表示为 $a^{it}\times a^{-j}$。
• 那么我们从不定方程的角度分析这个同余方程。
• 这个方程等价于

$a^x+py=b$

• 令 $a_1=(a,p)$，令原方程化为

$a^{x-1}\frac{a}{a_1}+\frac{p}{a_1}y=\frac{b}{a_1}$

• 若此时 $(a,\frac{p}{a_1})\neq 1$，那么我们接着化成

$a^{x-2}\frac{a^2}{a_1a_2}+\frac{p}{a_1a_2}y=\frac{b}{a_1a_2}$

• 同理不断进行这样的操作，最后我们达到 $(a,\frac{p}{a_1a_2\dots a_n})=1$的目标，并将方程化为

$a^{x-n}\frac{a^n}{a_1a_2\dots a_n}+\frac{p}{a_1a_2\dots a_n}y=\frac{b}{a_1a_2\dots a_n}$

• 然后记 $a'=\frac{a}{a_1a_2\dots a_n}$， $p'=\frac{p}{a_1a_2\dots a_n}$， $b'=\frac{b}{a_1a_2\dots a_n}$，那么原不定方程可以化为同余方程

$a^{x-n}a'\equiv b'(mod\ p')$

• 显然 $(a',p')=1$，因此我们可以写成

$a^{x-n}\equiv b'(a')^{-1}(mod\ p')$

• 然后就可以用互质的方法解决了。

• 可以发现，每次在 $p$ 中除去一个最大公约数，每次都会有至少同一个质因子的次数减少 $1$，那么在int范围内， $n$ 最多只会取到 $30$。

• 以上两个情况的时间复杂度均为 $O(\sqrt{p}\log_2{\sqrt p})$，因为用map实现哈希，可以做到更优秀。

• 有一些值得注意的地方：

  1. 在我们令 $b$ 除以一个最大公约数 $d$ 时，若 $d\nmid b$，结合求解二元不定方程的知识，我们判定方程无自然数解。
  2. 我们在不互质情况的化简操作中，已经假定了 $x\ge n$，所以方程才能写成那样的互质形式。对于 $x\le n$ 的情况，我们应当提前枚举判断。
  3. 注意在求解方程之前将 $a,b$ 对 $p$ 取模，注意 $a$ 取模后为 $0$ 的情况。
  4. 对于对时间限制要求较为紧的题目，应当使用更为优秀的哈希表实现方式。

• 模板题：SP3105 MOD - Power Modulo Inverted

• 洛谷链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/SP3105

• 代码：

//map水过
#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>

int a, p, b; 

inline int qpow(int b, int p, const int &mod)
{
	int res = 1; 
	for (; p; p >>= 1, b = 1LL * b * b % mod)
		if (p & 1)
			res = 1LL * res * b % mod; 
	return res; 
}

inline int ex_gcd(const int &a, const int &b, int &x, int &y)
{
	if (!b)
		return x = 1, y = 0, a; 
	int res = ex_gcd(b, a % b, y, x); 
	return y -= a / b * x, res; 
}

inline int solve_equ(const int &a, const int &b, const int &c)
{
	int x, y; 
	int d = ex_gcd(a, b, x, y); 
	if (c % d != 0) return -1; 
	
	int mod = b / d; 
	return (1LL * c / d * x % mod + mod) % mod; 
}

inline int solve_BSGS(const int &a, const int &b, const int &p)
{
	int t = ceil(sqrt(p)); 
	std::map<int, int> hash; 
	hash.clear(); 
	
	int tmp = b; 
	for (int i = 1; i <= t; ++i)
	{
		tmp = 1LL * tmp * a % p; 
		hash[tmp] = i; 
	}
	
	int pw = qpow(a, t, p); 
	tmp = pw; 
	for (int i = 1; i <= t; ++i)
	{
		if (hash.find(tmp) != hash.end())
			return i * t - hash[tmp]; 
		tmp = 1LL * tmp * pw % p; 
	}
	
	return -1; 
}

inline bool check()
{
	int k = 1 % p; 
	for (int i = 0; i <= 40; ++i)
	{
		if (k == b)
			return printf("%d\n", i), true; 
		k = 1LL * k * a % p; 
	}
	if (!a)
		return puts("No Solution"), true; 
	return false; 
}

int main()
{
	while (scanf("%d%d%d", &a, &p, &b), a || p || b)
	{
		a %= p, b %= p; 
		if (check())
			continue; 
		
		int d; 
		int ap = 1, n = 0; 
		bool flg = false; 
		
		while ((d = std::__gcd(a, p)) != 1)
		{
	  		++n; 
			ap = 1LL * ap * (a / d) % p; 
			p /= d; 
			
			if (b % d)
			{
				flg = true; 
				break; 
			}
			b /= d; 
		}
		
		if (flg)
			puts("No Solution"); 
		else
		{
			int res = solve_BSGS(a, 1LL * b * solve_equ(ap, p, 1) % p, p); 
			if (res == -1)
				puts("No Solution"); 
			else
				printf("%d\n", res + n); 
		}
	}
	return 0; 
}