[总结] Baby-Step_Giant-Step及扩展算法(BSGS)

Baby-Step_Giant-Step（简称BSGS）及其扩展算法（简称Extended BSGS）用来求解 $a^x\equiv b \pmod p$这样的问题
设$m=\left\lceil\sqrt{p}\right\rceil$,将$x$分解为$i*m+j$,那么$a^x=a^{i*m+j}=a^{i*m}*a^j$
然后我们通过枚举$i$,来求解同余方程$a^{i*m}*a^j\equiv b\pmod p$
变形得：
$a^{i*m}*a^j+y*p=b$
当前$a^j$和$y$未知,将$a^j$看为$x$,用扩展欧几里得求解即可

其实递推也可以
求解同余方程$a^{i*m}*a^j\equiv b\pmod p$
当$i=0$时显然$a^j=b$
接下来每次左边乘上一个$a^m$,移项,得到
$a^j\equiv b*inv(a^m)\pmod p$
所以说$a^j=b*inv(a^m)$
递推下去即可

我们得到了$a^j$,怎么得到$j$呢？
直接将$a^0,a^1...,a^{m-1}$的值映射到一个Hash表里面就好了

代码实现如下：

ll BSGS(ll a,ll b,ll p) {
    if(a%p==0) return -1;
    b%=p;
    ll m=ceil(sqrt(p*1.0));
    hash.clear();
    ll in=1,d=1;
    for(int i=0;i<m;i++) {
        hash.insert(in,i);
        in=(in*a)%p;
    }
    ll a_m_inv=get_inv(in,p);
    for(int i=0;i<m;i++) {
        ll cpt=hash.get(b);
        if(cpt!=-1)
            return i*m+cpt;
        b=(b*a_m_inv)%p;
    }
    return -1;
}