【机器人学】机械臂球形手腕的逆解

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        如图1所示的球形手腕(三个关节的轴线相交于一点)是常用的机械臂结构，我们希望在已知坐标系3至坐标系6的旋转矩阵的条件下求解3个关节值$q_{3}$,$q_{4}$,$q_{6}$。旋转矩阵可通过欧拉角集合、四元数或直接用3×3的矩阵给出。

图1 典型腕关节结构

        假设现在已知的旋转矩阵为：

$$R_{3}^{6}=\left[ \begin{matrix} {{n}_{x}} & {{s}_{x}} & {{a}_{x}} \\ {{n}_{y}} & {{s}_{y}} & {{a}_{y}} \\ {{n}_{z}} & {{s}_{z}} & {{a}_{z}} \\ \end{matrix} \right]$$

        $q_{3}$,$q_{4}$,$q_{6}$的值为 ：
        当${{q}_{5}}\in \left( 0，\pi \right)$

$$\begin{align} & {{q}_{4}}=\operatorname{atan}2\left( {{a}_{y}},{{a}_{x}} \right) \\ & {{q}_{5}}=a\tan 2\left( \sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}},{{a}_{z}} \right) \\ & {{q}_{6}}=a\tan 2\left( {{s}_{z}},-{{n}_{z}} \right) \\ \end{align}$$
        当 ${{q}_{5}}\in \left( -\pi ，0 \right)$
$$\begin{align} & {{q}_{4}}=\operatorname{atan}2\left( -{{a}_{y}},-{{a}_{x}} \right) \\ & {{q}_{5}}=a\tan 2\left( -\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}},{{a}_{z}} \right) \\ & {{q}_{6}}=a\tan 2\left( -{{s}_{z}},{{n}_{z}} \right) \\ \end{align}$$

参考文献：
布鲁诺・西西里安诺.《机器人学：建模，规划和控制》 西安交通大学出版社 2015