【LeetCode题解】231_2的幂（Power-of-Two）

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描述

给定一个整数，编写一个函数来判断它是否是 2 的幂次方。

示例 1:

输入: 1
输出: true
解释: 2^0 = 1

示例 2:

输入: 16
输出: true
解释: 2^4 = 16

示例 3:

输入: 218
输出: false

解法 1：判断整数 $x$ 的二进制表示中是否只有一位为1

实现方式 1：除以 2

让我们先来看一下 2 的幂有什么规律，

n	2 的幂	二进制表示
0	$2^0 = 1$	0000 0001
1	$2^1 = 2$	0000 0010
2	$2^2 = 4$	0000 0100
3	$2^3 = 8$	0000 1000
…	…	…

从上面可以看出，如果整数 $x$ 是 2 的幂，将整数不断除以 2，除了 1 之外，其余的约数一定能被 2 整除。按照这样的想法，我们就能写出**解法 1 **的第一种实现。

Java 实现（非递归）

class Solution {
    public boolean isPowerOfTwo(int x) {
        if (x <= 0) {
            return false;
        }
        while (x % 2 == 0) {
            x /= 2;
        }
        return x == 1;
    }
}

Python 实现（非递归）

class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, x):
        """
        :type n: int
        :rtype: bool
        """
        if x <= 0:
            return False
        while x % 2 == 0:
            x = x // 2
        return x == 1

Java 实现（递归）

class Solution {
    public boolean isPowerOfTwo(int x) {
        return x > 0 && (x == 1 || (x % 2 == 0 && isPowerOfTwo(x / 2)));
    }
}

Python 实现（递归）

class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, x):
        """
        :type n: int
        :rtype: bool
        """
        return x > 0 and (x == 1 or (x % 2 == 0 and self.isPowerOfTwo(x // 2)))

复杂度分析

• 时间复杂度：两种实现（递归和非递归）的时间复杂度都是 $O(\log(x))$ 的，其中 $x$ 表示该整数
• 空间复杂度：非递归实现的空间复杂度是 $O(1)$ 的，而递归实现的空间复杂度是 $O(\log(x))$，因此递归实现占用系统栈的空间，递归的深度最多为 $\log(x)$

实现方式 2：位运算

对于实现方式 1，如果用二进制的角度看，就是判断整数的二进制表示的最右边一位是否为 1，如果为 1，则将该整数与 1 进行比较从而得到结果；如果不为 1，则将整数 $x$ 右移一位（最高位补 0）。因此，我们就会想，是否有一种方式可以直接通过位运算就能达到目的，答案是肯定的。

让我们再来看看下面的表格有什么规律，

$2^n$	$2^n$ 的二进制表示	$2^n - 1$ 的二进制表示
1	0000 0001	0000 0000
2	0000 0010	0000 0001
4	0000 0100	0000 0011
8	0000 1000	0000 0111
…	…	…

从表格中可以看出，如果整数 $x$ 是 2 的幂的话，整数 $x$ 与 $x - 1$ 的二进制表示进行与运算，结果为 0，因此我们就可以写出解法 1 的第二种实现方式。

Java 实现

class Solution {
    public boolean isPowerOfTwo(int x) {
        return x > 0 && ((x & (x - 1)) == 0);
    }
}

Python 实现

class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, x):
        """
        :type n: int
        :rtype: bool
        """
        return x > 0 and (x & x - 1 == 0)

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(1)$
• 空间复杂度： $O(1)$