LeetCode 72-Edit Distance（动态规划）

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本题为经典的动态规划。解决本题的前提是把这题的动态方程先搞明白。

题目：（动态规划）https://leetcode.com/problems/edit-distance/

概述：给定两个单词，给了三种方法（替换，删除，插入），用这三种方法使得两个单词相同。

思路：采用动态规划。要实现动态方程，我们需要考虑两种情况:①边缘情况 ②一般情况

1. 边缘情况：
   转化word1[0…i - 1] 到 “” 至少要进行一次删除，word2[0…i - 1]到 “” 同理。
   dp[i][0] = i;
   dp[0][j] = j；

2. 一般情况：
   对于两个非空的字符串，我们需要把这些问题分解为子问题，假设我们知道如何去转换word1[0…i - 2] 到 word2[0…j - 2]，也就是知道了dp[i - 1][j - 1]。

   如果word1[i - 1] == word2[i - 1]
   那么从上一步dp[i - 1][j - 1] 到 dp[i][j] 不用进行任何操作，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]。

   否则word1[i - 1] ！= word2[i - 1]

   考虑以下三种情况：

   1. 替换 word1[i - 1] 用 word2[j - 1] (dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1);
   2. 删除 word1[i - 1] 使得 word1[0…i - 2] == word2[0…j - 1] (dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1);
   3. 把 word2[j - 1] 插入word1[0…i - 1] 使得 word1[0…i - 1] + word2[j - 1] == word2[0…j - 1] (dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1).

综上所述，我们得到了这样的方程：

dp[i][0] = i;
dp[0][j] = j;
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1], if word1[i - 1] = word2[j - 1];
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1), otherwise.

这里附上代码：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.length(), n = word2.length();
        vector<vector<int> > dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            dp[i][0] = i;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            dp[0][j] = j;  
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                else dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 1, min(dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j] + 1));
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};