拓扑排序详细解读

1、拓扑排序的介绍

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

拓扑排序对应施工的流程图具有特别重要的作用，它可以决定哪些子工程必须要先执行，哪些子工程要在某些工程执行后才可以执行。为了形象地反映出整个工程中各个子工程(活动)之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动(子工程)，图中的有向边代表活动的先后关系，即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。通常，我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。

一个AOV网应该是一个有向无环图，即不应该带有回路，因为若带有回路，则回路上的所有活动都无法进行（对于数据流来说就是死循环）。在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order)，由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological sort)。AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。

2、拓扑排序的实现步骤

在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出
从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧（白话就是：删除所有和它有关的边）
重复上述两步，直至所有顶点输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止，后者代表我们的有向图是有环的，因此，也可以通过拓扑排序来判断一个图是否有环。

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拓扑排序实现代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
const int MaxSize=100;//最大的顶点数 
struct ArcNode{//边表 
    int adjvex;
//  int weight;
    ArcNode* next;
};
struct VertexNode{//顶点表 
    int in;
    int vertex;
    ArcNode* firstedge;
};
class ALGraph{//邻接表的构造 
    public:
        ALGraph(int a[],int n,int e);
        ~ALGraph(){
        }
    public:
        VertexNode adjlist[MaxSize];
        int vertexNum,arcNum;
};
ALGraph::ALGraph(int a[],int n,int e){
    ArcNode *s;
    vertexNum=n;
    arcNum=e;
    for(int i=0;i<vertexNum;i++)//对顶点表初始化 
    {
    adjlist[i].vertex=a[i];
    adjlist[i].firstedge=NULL;
    }
    int i,j,weight1;
    cout<<"输入各边的信息："<<endl;//输入边的信息 
    for(int k=0;k<arcNum;k++){
        cin>>i>>j;
        s=new ArcNode;//头插法加入到顶点表中 
        s->adjvex=j;
        s->next=adjlist[i].firstedge;
        adjlist[i].firstedge=s;
    }
}
void TopSort(ALGraph G){//拓扑排序 
    int S[100],j;
    ArcNode *p;
    int top=-1,count=0;
    for(int i=0;i<G.vertexNum;i++)//把入度为0的顶点入栈 
    if(G.adjlist[i].in==0)
    S[++top]=i;
    while(top!=-1){
        j=S[top--];//入度为0的顶点出栈 
        cout<<j<<" ";count++;//统计出栈的顶点 
        p=G.adjlist[j].firstedge;
        while(p!=NULL){//更新与该顶点连接的顶点的入度数 
            int k;
            k=p->adjvex;
            G.adjlist[k].in--;
            if(G.adjlist[k].in==0){//若更新后的顶点入度为0，把该顶点进栈 
            S[++top]=k;
            }
            p=p->next;
        }
    }
    cout<<endl; 
    cout<<"count="<<count<<" "<<endl;
    if(count<G.vertexNum)//若出栈的点总数目小于所有点的总数目，证明图中有回路
    cout<<"有回路！"<<endl;
    else
    cout<<"没有回路！"<<endl;
}
int main(){
    int a[7]={0,1,2,3,4,5,6},n,e;
    cout<<"输入顶点数和边数："<<endl;
    cin>>n>>e;
    ALGraph G(a,n,e);
    int ru[n];//记录每个点的入度数，顶点0的入度为r[0] 
    cout<<"图的邻接表为："<<endl;
    for(int i=0;i<n;i++)
    ru[i]=0;//顶点的入度初始化都为0 
    for(int i=0;i<n;i++){
        cout<<i<<"  ";
        ArcNode *s;
        s=G.adjlist[i].firstedge;
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(G.adjlist[i].firstedge==NULL)//当firstedge指向NULL，结束该顶点的遍历 
            {
            G.adjlist[i].in=ru[i];//把入度值传给 in 
            G.adjlist[i].firstedge=s;//G.adjlist[i].firstedge指向回最开始的时候 
            break;
            }
            cout<<G.adjlist[i].firstedge->adjvex<<"  ";//输出firstedge指向的顶点adjvex 
            ru[G.adjlist[i].firstedge->adjvex]++;//遍历到的边表顶点，那个顶点的入度就加1 
            G.adjlist[i].firstedge=G.adjlist[i].firstedge->next;//firstedge不断的后移遍历 
        }
        cout<<endl;
    }
    cout<<"图的拓扑序列之一为："<<endl; 
    TopSort(G);
    return 0;
}

代码的运行程序图：

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