1. 前言

如果读了我之前的几篇集成学习的博文，相信读者们已经都对集成学习大部分知识很有了详细的学习。今天我们再来一个提升，就是我们的集大成者GBDT。GBDT在我们的Kaggle的比赛中基本获得了霸主地位，大部分的问题GBDT都能获得异常好的成绩。

2. GBDT原理

GBDT的中文名叫梯度提升树，GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost，我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不同。

在GBDT的迭代中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是\(f_{t-1}(x)\), 损失函数是\(L(y,f_{t-1}(x))\)，我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器\(h_t(x)\)，让本轮的损失函数\(L(y,f_t(x)=L(y,f_{t-1}(x)+h_t(x))\)最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。即梯度提升树是用CART树去拟合前一个弱模型的损失函数的残差，使得本轮的损失更小。

3. 提升树

回归问题提升树的前向分步算法：

假设第\(m\)个模型是\(f_m(x)\)，则有以下公式
\[ f_0(x)=0 \]
\[ f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x,\theta_m) \]
\[ f_M(x)=\sum_{m=1}^MT(x,\theta_m) \]
有了模型函数后，我们就得到了损失函数：
\[ L(y,f_m(x))=L(y,f_{m-1}(x)+T(x,\theta_m))=L(r_{m-1},T(x,\theta_m)) \]
其中的\(T(x,\theta)\)需要用CART树去拟合，而\(r_{m-1}\)是上一个学习器的损失的残差。
\[ r_{m-1}=L(y,f_{m-1}(x)) \]
我们举个例子，假设损失函数是平方损失函数：
\[ L(y,f(x))=(y-f(x))^2 \]
则第\(m\)个模型的损失函数
\[ L(y,f_m(x))=L(y,f_{m-1}(x)+T(x,\theta_m))=L(r_{m-1},T(x,\theta_m))=(r_{m-1}-T(x,\theta_m))^2 \]

4. 梯度提升树

前面的提升树利用加法模型和前向算法进行，当损失函数是平方损失或者指数损失的时候，很好推算，但是对于一般的损失函数，就比较难处理。这时候我们可以利用最速下降法来近似，关键是利用了损失函数的负梯度在当前模型的值：

\[ r_{ti} \approx -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;(x)} \]

输入：是训练集样本\(T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_N,y_N)}\)，最大迭代次数\(M\), 损失函数\(L\)。

输出：强学习器\(f_M(x)\)

初始化弱学习器

\[ f_0(x) = arg min_{c}\sum\limits_{i=1}^{N}L(y_i, c) \]

对迭代轮数\(m=1,2,...M\)有：
1. 对样本\(i=1,2,...,N\)，计算负梯度\(r_{mi} \approx -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;(x)}\)
2. 利用\((x_i,r_{mi})(i=1,2,..N)\), 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为\(Rmj,(j=1,2,...,J)\)。其中\(J\)为回归树t的叶子节点的个数。
3. 对叶子区域\(j=1,2,...,J\)计算最佳拟合值\(c_{mj} = arg min_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{mj}} L(y_i,f_{m-1}(x_i) +c)\)
4. 更新强学习器\(f_{m}(x) = f_{m-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{mj}I(x \in R_{mj})\)
得到强学习器f(x)的表达式\(f(x) = f_M(x) =f_0(x) + \sum\limits_{m=1}^{M}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{mj}I(x \in R_{tj})\)

5. GBDT的正则化

和Adaboost类似的正则化项，即步长(learning rate)。
正则化的方式是通过子采样比例（subsample）。
对于弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。

6. 总结

GBDT也是需要正则化的过程，
最后总结下GBDT的优缺点。

GBDT主要的优点有：

可以灵活处理各种类型的数据，包括连续值和离散值。
在相对少的调参时间情况下，预测的准确率也可以比较高。这个是相对SVM来说的。
使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性非常强。比如 Huber损失函数和Quantile损失函数。

GBDT的主要缺点有：

由于弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。不过可以通过自采样的SGBT来达到部分并行。

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5. 集成学习（Ensemble Learning）GBDT