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概述
图的遍历是指从图中的任一顶点出发，对图中的所有顶点访问一次且只访问一次。图的遍历操作和树的遍历操作功能相似。图的遍历是图的一种基本操作，图的其它算法如求解图的连通性问题，拓扑排序，求关键路径等都是建立在遍历算法的基础之上。
由于图结构本身的复杂性，所以图的遍历操作也较复杂，主要表现在以下四个方面：① 在图结构中，没有一个“自然”的首结点，图中任意一个顶点都可作为第一个被访问的结点。
② 在非连通图中，从一个顶点出发，只能够访问它所在的连通分量上的所有顶点，因此，还需考虑如何选取下一个出发点以访问图中其余的连通分量。
③ 在图结构中，如果有回路存在，那么一个顶点被访问之后，有可能沿回路又回到该顶点。
④ 在图结构中，一个顶点可以和其它多个顶点相连，当这样的顶点访问过后，存在如何选取下一个要访问的顶点的问题。
图的遍历通常有深度优先搜索和广度优先搜索两种方式，他们对无向图和有向图都适用。
1.深度优先搜索
深度优先搜索（Depth_Fisrst Search）遍历类似于树的先根遍历，是树的先根遍历的推广。
假设初始状态是图中所有顶点未曾被访问，则深度优先搜索可从图中某个顶点发v 出发，访问此顶点，然后依次从v 的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v 有路径相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。
以如下图的无向图G5为例，进行图的深度优先搜索：
G5
搜索过程：
假设从顶点v1 出发进行搜索，在访问了顶点v1 之后，选择邻接点v2。因为v2 未曾访问，则从v2 出发进行搜索。依次类推，接着从v4 、v8 、v5 出发进行搜索。在访问了v5 之后，由于v5 的邻接点都已被访问，则搜索回到v8。由于同样的理由，搜索继续回到v4，v2 直至v1，此时由于v1 的另一个邻接点未被访问，则搜索又从v1 到v3，再继续进行下去由此，得到的顶点访问序列为：
显然，这是一个递归的过程。为了在遍历过程中便于区分顶点是否已被访问，需附设访问标志数组visited[0:n-1], ，其初值为FALSE ，一旦某个顶点被访问，则其相应的分量置为TRUE。
1）邻接矩阵的存储方式实现：
// stdafx.h : include file for standard system include files,// or project specific include files that are used frequently, but// are changed infrequently//#pragma once#include "targetver.h"#include <stdio.h> #include "stdlib.h"#include <iostream>using namespace std;//宏定义 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define NULL 0#define OK 1 #define ERROR 0 #define INFEASIBLE -1 #define OVERFLOW -2 #define INFINITY INT_MAX#define MAX_VERTEX_NUM 30typedef int Status ;typedef int ElemType ;typedef int VrType ;typedef char VertexType ;/************************************************************************//* 数组表示：邻接矩阵数据结构*//************************************************************************/typedef struct ArcCell{ VrType adj; //顶点关系类型，对无权图，0/1表示是否相邻，有权图表示权值 ArcCell *info; //弧相关信息的指针}ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{ VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点向量 AdjMatrix arcs; //邻接矩阵 int vexnum,arcnum; //图的当前顶点数和弧数}MGraph;// Test.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; //访问标识Status (*VisitFunc) (int v); //函数变量/************************************************************************//* 确定顶点v在图G的位置*//************************************************************************/int LocateVex(MGraph G,VertexType v){ for(int i = 0; i<G.vexnum; ++i) { if(G.vexs[i] == v) return i;//找到 } return -1;//不存在}/************************************************************************//* *//************************************************************************/int FirstAdjVex(MGraph G,int v){ int i ; for(i = 0; i<G.vexnum; i++) if( G.arcs[v][i].adj ) return i; if(i == (G.vexnum -1)) return -1; return -1; }int NextAdjVex(MGraph G,int v,int w){ int i; for( i = w+1; i<G.vexnum; i++)//+1 if(G.arcs[v][i].adj) return i; if(i == (G.vexnum -1)) return -1; return -1;}/************************************************************************//* 邻接矩阵的无向图的创建: 注释的代码可以动态生成图。*//************************************************************************/void CreatUDG(MGraph &G){ cout<<"创建邻接矩阵的无向图："<<endl; int i,j,k,w; //G5的存储： G.arcnum = 8; G.vexnum = 9; for(i=0;i<G.vexnum;++i) for(j=0;j<G.vexnum;++j) { G.arcs[i][j].adj=0; G.arcs[i][j].info=NULL; } G.vexs[0] = '1'; G.vexs[1] = '2'; G.vexs[2] = '3'; G.vexs[3] = '4'; G.vexs[4] = '5'; G.vexs[5] = '6'; G.vexs[6] = '7'; G.vexs[7] = '8'; G.arcs[0][1].adj = 1; G.arcs[0][1].info = NULL; G.arcs[1][0].adj = 1; G.arcs[1][0].info = NULL; G.arcs[1][3].adj = 1; G.arcs[1][3].info = NULL; G.arcs[3][1].adj = 1; G.arcs[3][1].info = NULL; G.arcs[3][7].adj = 1; G.arcs[3][7].info = NULL; G.arcs[7][3].adj = 1; G.arcs[7][3].info = NULL; G.arcs[7][4].adj = 1; G.arcs[7][4].info = NULL; G.arcs[4][7].adj = 1; G.arcs[4][7].info = NULL; G.arcs[4][1].adj = 1; G.arcs[4][1].info = NULL; G.arcs[1][4].adj = 1; G.arcs[1][4].info = NULL; G.arcs[0][2].adj = 1; G.arcs[0][2].info = NULL; G.arcs[2][0].adj = 1; G.arcs[2][0].info = NULL; G.arcs[2][5].adj = 1; G.arcs[2][5].info = NULL; G.arcs[5][2].adj = 1; G.arcs[5][2].info = NULL; G.arcs[5][6].adj = 1; G.arcs[5][6].info = NULL; G.arcs[6][5].adj = 1; G.arcs[6][5].info = NULL; G.arcs[6][2].adj = 1; G.arcs[6][2].info = NULL; G.arcs[2][6].adj = 1; G.arcs[2][6].info = NULL; return ; /* char v1,v2; cout<<"请输入无向图顶点个数和边数:"<<endl; cin>>G.vexnum>>G.arcnum; cout<<"请输入"<<G.vexnum<<"个顶点的值:"<<endl; for(i=0;i<G.vexnum;++i) cin>>G.vexs[i]; for(i=0;i<G.vexnum;++i) for(j=0;j<G.vexnum;++j) { G.arcs[i][j].adj=0; G.arcs[i][j].info=NULL; } for( k=1;k<=G.arcnum;++k){ cout<<"请输入第"<<k<<"条边的两个顶点值和它们的权重："<<endl; cin>>v1>>v2>>w; i = LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2); G.arcs[i][j].adj=w; G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j]; } */}/************************************************************************//* 有向图邻接矩阵的创建*//************************************************************************/void CreatDG(MGraph &G){ int i,j,k,w; char v1,v2; G.arcnum = 8; G.vexnum = 9; cout<<"请输入有向图顶点个数和边数:"; cin>> G.vexnum>> G.arcnum; cout<<"请输入"<<G.vexnum<<"个顶点的值:"<<endl; for(i=0;i<G.vexnum;++i) cin>>G.vexs[i]; for(i=0;i<G.vexnum;++i) for(j=0;j<G.vexnum;++j) { G.arcs[i][j].adj = 0; G.arcs[i][j].info = NULL; } for( k=1;k<=G.arcnum;++k){ cout<<"请输入第"<<k<<"条边的两个顶点值和它们的权重："<<endl; cin>>v1>>v2>>w; i= LocateVex(G,v1); j = LocateVex(G,v2); G.arcs[i][j].adj = w; }}void visitVex(MGraph G, int v){ cout<<G.vexs[v]<<" ";}/************************************************************************//* 以V为出发点对图G 进行递归地DFS 搜索*//************************************************************************/void DFS(MGraph G,int v){ visited[v] = true; visitVex( G, v); //访问第v 个顶点 for(int w = FirstAdjVex(G,v); w>=0; w = NextAdjVex(G,v,w)){ if(!visited[w]) DFS(G,w); //w未访问过，递归DFS搜索 }}/************************************************************************//* 无向图的深度遍历 *//************************************************************************/void DFSTraverse(MGraph G){// int v; for( v = 0; v < G.vexnum; ++v) visited[v] = false; for( v = 0; v < G.vexnum; ) if(!visited[v]) DFS( G, v); //v未访问过，从vi开始DFS搜索 ++v;//不要像书上写的那样，++v放到for语句，这样会导致多出一次访问}void printMGraph(MGraph G){ cout<<"邻接矩阵已经创建，邻接矩阵为："<<endl; for(int i=0;i<G.vexnum;i++){ for(int j=0;j<G.vexnum;j++) cout<<G.arcs[i][j].adj<<" "; cout<<endl; }}void main(){ MGraph G; CreatUDG(G); printMGraph(G); cout<<"无向图邻接矩阵的深度遍历结果："<<endl; DFSTraverse(G);}2） 邻接表的表示实现方式
// stdafx.h : include file for standard system include files,// or project specific include files that are used frequently, but// are changed infrequently//#pragma once#include "targetver.h"#include <stdio.h> #include "stdlib.h"#include <iostream>using namespace std;//宏定义 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define NULL 0#define OK 1 #define ERROR 0 #define INFEASIBLE -1 #define OVERFLOW -2 #define INFINITY INT_MAX#define MAX_VERTEX_NUM 30typedef int Status ;typedef int ElemType ;typedef int VrType ;typedef char VertexType ;/************************************************************************//* 邻接表示的图数据结构*//************************************************************************///定义边结点，即表节点typedef struct ArcNode { int adjvex; //弧所指的顶点位置 ArcNode *nextarc; //指向下一条弧的指针}ArcNode;//定义顶点节点，即头节点typedef struct VNode { VertexType data; //顶点信息 ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的弧的指针}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];//定义无向图 typedef struct { AdjList vertices; int vexnum,arcnum; //图的当前顶点数和弧数}ALGraph;// Test.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; //访问标识Status (*VisitFunc) (int v); //函数变量/************************************************************************//* 在无向图中添加以m,n为顶点的边*//************************************************************************/void ArcAdd(ALGraph &G,int m,int n){ ArcNode *p,*h,*q; p = new ArcNode; p->adjvex = m; p->nextarc = NULL; h = q = G.vertices[n].firstarc; if(q == NULL) G.vertices[n].firstarc = p; else { if((p->adjvex)>(q->adjvex)){ p->nextarc = q; G.vertices[n].firstarc = p; } else { while( G.vertices[n].firstarc != NULL && q->nextarc != NULL && (p->adjvex)<(q->adjvex)){ //使邻接表中边的数据按大到小排列。 h = q; q = q->nextarc; } if(q->nextarc == NULL&&(p->adjvex)<(q->adjvex)){ q->nextarc = p; } else { p->nextarc = q; h->nextarc = p; } } }}/************************************************************************//*创建无向图*//************************************************************************/void CreateDG(ALGraph &G){ cout<<"请输入顶点个数和边数："<<endl; cin>> G.vexnum>> G.arcnum; cout<<"请输入顶点值:"<<endl; for(int i= 1; i<= G.vexnum; i++) { char t; cin>>t; G.vertices[i].data = t; G.vertices[i].firstarc = NULL; } int m, n; for(int k = 1; k<=G.arcnum; k++){ cout<<"请输入第"<<k<<"条边的两个顶点:"<<endl; cin>>m>>n; if(m<= G.vexnum && n <= G.vexnum && m>0 && n>0){ ArcAdd(G, m, n); ArcAdd(G, n, m); } else cout<<"ERROR."<<endl; }}/************************************************************************//* 打印邻接表的无向图 *//************************************************************************/void PrintGraph(ALGraph G) { cout<<"无向图的创建完成,该图的邻接表表示为:"<<endl; ArcNode *p; for(int i=1; i<=G.vexnum; i++) { if(G.vertices[i].firstarc == NULL) cout<<i<<G.vertices[i].data<<"-->NULL"<<endl; else { p = G.vertices[i].firstarc; cout<<i<<G.vertices[i].data<<"-->"; while(p->nextarc!=NULL) { cout<<p->adjvex<<"-->"; p = p->nextarc; } cout<<p->adjvex<<"-->NULL"<<endl; } }}/************************************************************************//* 返回v的第一个邻接顶点。若顶点在G中没有邻接表顶点，则返回“空”。 *//************************************************************************/int FirstAdjVex(ALGraph G,int v){ if(G.vertices[v].firstarc) return G.vertices[v].firstarc->adjvex; else return NULL;}/************************************************************************//* 返回v的（相对于w的）下一个邻接顶点。若w是v的最后一个邻接点，则返回“回”。*//************************************************************************/int NextAdjVex(ALGraph G,int v,int w) { ArcNode *p; if(G.vertices[v].firstarc==NULL) return NULL; else { p = G.vertices[v].firstarc; while(p->adjvex!=w) p = p->nextarc; if(p->nextarc == NULL) return NULL; else return p->nextarc->adjvex; }}void visitVex(ALGraph G, int v){ cout<<G.vertices[v].data<<" ";}/************************************************************************//* 无向图的深度遍历 *//************************************************************************///从第v个顶点出发递归地深度优先遍历图Gvoid DFS(ALGraph G,int v){ visited[v] = true; visitVex(G, v); for(int w = FirstAdjVex(G,v);w >= 1; w = NextAdjVex(G,v,w)) if(!visited[w]) DFS(G,w);}//对图G作深度优先遍历void DFSTraverse(ALGraph G){ for(int v = 1; v <= G.vexnum; v++) visited[v]=false; for(int m = 1; m <= G.vexnum; m++) if(!visited[m]) DFS(G,m);}void main(){ ALGraph G; CreateDG(G); PrintGraph(G); DFSTraverse(G);}
分析上述算法，在遍历时，对图中每个顶点至多调用一次DFS 函数，因为一旦某个顶点被标志成已被访问，就不再从它出发进行搜索。因此，遍历图的过程实质上是对每个顶点查找其邻接点的过程。其耗费的时间则取决于所采用的存储结构。当用二维数组表示邻接矩阵图的存储结构时，查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n2) ，其中n 为图中顶点数。而当以邻接表作图的存储结构时，找邻接点所需时间为O(e)，其中e 为无向图中边的数或有向图中弧的数。由此，当以邻接表作存储结构时，深度优先搜索遍历图的时间复杂度为O(n+e) 。
2.广度优先搜索
广度优先搜索（Breadth_First Search） 遍历类似于树的按层次遍历的过程。假设从图中某顶点v 出发，在访问了v 之后依次访问v 的各个未曾访问过和邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使“先被访问的顶点的邻接点”先于“后被访问的顶点的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。换句话说，广度优先搜索遍历图的过程中以v 为起始点，由近至远，依次访问和v 有路径相通且路径长度为1,2,…的顶点。
对图如下图所示无向图G5 进行广度优先搜索遍历：
广度搜索过程：
首先访问v1 和v1 的邻接点v2 和v3，然后依次访问v2 的邻接点v4 和v5 及v3 的邻接点v6 和v7，最后访问v4 的邻接点v8。由于这些顶点的邻接点均已被访问，并且图中所有顶点都被访问，由些完成了图的遍历。得到的顶点访问序列为：
v1→v2 →v3 →v4→ v5→ v6→ v7 →v8
和深度优先搜索类似，在遍历的过程中也需要一个访问标志数组。并且，为了顺次访问路径长度为2、3、…的顶点，需附设队列以存储已被访问的路径长度为1、2、… 的顶点。
实现：
// stdafx.h : include file for standard system include files,// or project specific include files that are used frequently, but// are changed infrequently//#pragma once#include <stdio.h> #include "stdlib.h"// func.h :#pragma once#include <iostream>using namespace std;//宏定义 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define NULL 0#define OK 1 #define ERROR 0 #define INFEASIBLE -1 #define OVERFLOW -2 #define INFINITY INT_MAX#define MAX_VERTEX_NUM 30typedef int Status ;typedef int ElemType ;typedef int VrType ;typedef char VertexType ;/************************************************************************//* 邻接表示的图数据结构*//************************************************************************///定义边结点typedef struct ArcNode { int adjvex; //弧所指的顶点位置 ArcNode *nextarc; //指向下一条弧的指针}ArcNode;//定义顶点结点typedef struct VNode { VertexType data; //顶点信息 ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的弧的指针}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];//定义无向图 typedef struct { AdjList vertices; int vexnum,arcnum; //图的当前顶点数和弧数}ALGraph;/************************************************************************//* 需要 *//************************************************************************/typedef struct node //定义结点{ char data; node *next;}*Link;typedef struct //定义链表{ Link head,tail; int len;}Queue;/************************************************************************//* 构造一个带头结点和尾结点的空的线性链表队列Q*//************************************************************************/Status InitQueue(Queue &Q){ Q.head = new node; Q.head->next = Q.tail = new node; Q.tail->next = NULL; Q.len = 0; return 0;}/************************************************************************//* //在线性链表的队列L的结尾添加一个结点*//************************************************************************/ void EnQueue(Queue &Q,int e){ Link q = new node; Q.tail->next = q; Q.tail->data = e; Q.tail = q; Q.tail->next = NULL; Q.len++;}/************************************************************************//* 出列，并将出列的元素值用e返回*//************************************************************************/void DeleteQueue(Queue &Q,int &e){ if(Q.head->next == Q.tail) { cout<<"队列为空"<<endl; e = NULL; } else { Link p,q; p = Q.head->next; q = p->next; Q.head->next = q; e = p->data; delete p; Q.len--; }}// Test.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include "func.h"bool visited[MAX_VERTEX_NUM]; //访问标识Status (*VisitFunc) (int v); //函数变量/************************************************************************//* 在无向图中添加以m,n为顶点的边*//************************************************************************/void ArcAdd(ALGraph &G,int m,int n){ ArcNode *p,*h,*q; p = new ArcNode; p->adjvex = m; p->nextarc = NULL; h = q = G.vertices[n].firstarc; if(q == NULL) G.vertices[n].firstarc = p; else { if((p->adjvex)>(q->adjvex)){ p->nextarc = q; G.vertices[n].firstarc = p; } else { while( G.vertices[n].firstarc != NULL && q->nextarc != NULL && (p->adjvex)<(q->adjvex)){ //使邻接表中边的数据按大到小排列。 h = q; q = q->nextarc; } if(q->nextarc == NULL&&(p->adjvex)<(q->adjvex)){ q->nextarc = p; } else { p->nextarc = q; h->nextarc = p; } } }}/************************************************************************//*创建无向图*//************************************************************************/void CreateDG(ALGraph &G){ cout<<"请输入顶点个数和边数："<<endl; cin>> G.vexnum>> G.arcnum; cout<<"请输入顶点值:"<<endl; for(int i= 1; i<= G.vexnum; i++) { char t; cin>>t; G.vertices[i].data = t; G.vertices[i].firstarc = NULL; } int m, n; for(int k = 1; k<=G.arcnum; k++){ cout<<"请输入第"<<k<<"条边的两个顶点:"<<endl; cin>>m>>n; if(m<= G.vexnum && n <= G.vexnum && m>0 && n>0){ ArcAdd(G, m, n); ArcAdd(G, n, m); } else cout<<"ERROR."<<endl; }}/************************************************************************//* 打印邻接表的无向图 *//************************************************************************/void PrintGraph(ALGraph G) { cout<<"无向图的创建完成,该图的邻接表表示为:"<<endl; ArcNode *p; for(int i=1; i<=G.vexnum; i++) { if(G.vertices[i].firstarc == NULL) cout<<i<<G.vertices[i].data<<"-->NULL"<<endl; else { p = G.vertices[i].firstarc; cout<<i<<G.vertices[i].data<<"-->"; while(p->nextarc!=NULL) { cout<<p->adjvex<<"-->"; p = p->nextarc; } cout<<p->adjvex<<"-->NULL"<<endl; } }}/************************************************************************//* 返回v的第一个邻接顶点。若顶点在G中没有邻接表顶点，则返回“空”。 *//************************************************************************/int FirstAdjVex(ALGraph G,int v){ if(G.vertices[v].firstarc) return G.vertices[v].firstarc->adjvex; else return NULL;}/************************************************************************//* 返回v的（相对于w的）下一个邻接顶点。若w是v的最后一个邻接点，则返回“回”。*//************************************************************************/int NextAdjVex(ALGraph G,int v,int w) { ArcNode *p; if(G.vertices[v].firstarc==NULL) return NULL; else { p = G.vertices[v].firstarc; while(p->adjvex!=w) p = p->nextarc; if(p->nextarc == NULL) return NULL; else return p->nextarc->adjvex; }}void visitVex(ALGraph G, int v){ cout<<G.vertices[v].data<<" ";}/************************************************************************//* 广度优先遍历图G*//************************************************************************/void BFSTraverse(ALGraph G){ Queue Q; int u; for(int m=1; m<= G.vexnum; m++) visited[m] = false; InitQueue(Q);//借助辅助队列。 for(int v=1;v<=G.vexnum;v++) if(!visited[v]) { visited[v]=true; visitVex(G,v); EnQueue(Q,v); while(Q.len!=0) { DeleteQueue(Q,u); for(int w=FirstAdjVex(G,u);w>=1;w=NextAdjVex(G,u,w)) if(!visited[w]) { visited[w]=true; visitVex(G,v); EnQueue(Q,w); } } } cout<<endl;}void main(){ ALGraph G; CreateDG(G); PrintGraph(G); cout<<"广度优先搜索的结果为:"<<endl; BFSTraverse(G);}分析上述算法，每个顶点至多进一次队列。遍历图的过程实质是通过边或弧找邻接点的过程，因此广度优先搜索遍历图的时间复杂度和深度优先搜索遍历相同，两者不同之处仅仅在于对顶点访问的顺序不同。
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