动态规划 求解 Minimum Edit Distance

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自然语言处理（NLP）中，有一个基本问题就是求两个字符串的minimal Edit Distance, 也称Levenshtein distance。受到一篇Edit Distance介绍文章的启发，本文用动态规划求取了两个字符串之间的minimal Edit Distance. 动态规划方程将在下文进行讲解。 

1. what is minimal edit distance?

简单地说，就是仅通过插入(insert)、删除(delete)和替换(substitute)个操作将一个字符串s1变换到另一个字符串s2的最少步骤数。熟悉算法的同学很容易知道这是个动态规划问题。 

其实一个替换操作可以相当于一个delete+一个insert，所以我们将权值定义如下：

I  (insert)：1

D (delete)：1

S (substitute)：2

2. example:

intention->execution

Minimal edit distance：

delete i ; n->e ; t->x ; insert c ; n->u 求和得cost=8

3.calculate minimal edit distance dynamically
思路见注释，这里D[i,j]就是取s1前i个character和s2前j个character所得minimal edit distance

三个操作动态进行更新：

D(i,j)=min { D(i-1, j) +1, D(i, j-1) +1 , D(i-1, j-1) + s1[i]==s2[j] ? 0 : 2}；中的三项分别对应D，I，S。（详见我同学的博客）

/* * minEditDis.cpp * *  @Created on: Jul 10, 2012 *      @Author: sophia *  @Discription: calculate the minimal edit distance between 2 strings * *  Method : DP (dynamic programming) *  D[i,j]: the minimal edit distance for s1的前i个字符和 s2的前j个字符 *  DP Formulation: D[i,j]=min(D[i-1,j]+1,D[i,j-1]+1,D[i-1,j-1]+flag);//其中if(s1[i]!=s2[j])则flag=2,else flag=0; * */#include"iostream"#include"stdio.h"#include"string.h"using namespace std;#define N 100#define INF 100000000#define min(a,b) a<b?a:bint dis[N][N];char s1[N],s2[N];int n,m;//length of the two stringint main(){ int i,j,k; while(scanf("%s%s",&s1,&s2)!=EOF) {  n=strlen(s1);m=strlen(s2);  for(i=0;i<=n+1;i++)   for(j=0;j<=m+1;j++)    dis[i][j]=INF;  dis[0][0]=0;  for(i=0;i<=n;i++)   for(j=0;j<=m;j++)   {    if(i>0) dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i-1][j]+1); //delete    if(j>0) dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i][j-1]+1);//insert    //substitute    if(i>0&&j>0)    {     if(s1[i-1]!=s2[j-1])      dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i-1][j-1]+2);     else      dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i-1][j-1]);    }   }  printf("min edit distance is: %d\n",dis[n][m]); } return 0;}

感谢FallingStar08的提醒，上面最小化的宏定义部分改为

#ifndef min#define min(a,b) (((a) < (b)) ? (a) : (b))#endif

运行结果：

intention
execution
min edit distance is: 8
abc
acbfbcd
min edit distance is: 4
zrqsophia
aihposqrz
min edit distance is: 16

另外，xuhanqiu在下面的提示也很有意义：

coursera上老师讲substitute的cost=2默认了substitute = delete+insertion,而这样违反了三角不等式即dis(a,b)+dis(a,c)>dis(b,c)，这样一来sustitute就失去了存在的意义，所以如果存在三个基本操作delete,insert和substitute，我们应当把substitute cost改为1，而上面的代码对应于基本操作仅有delete和insertion的情况。当然，实际中有很多变体，具体问题具体分析。

Reference: 

1. https://www.coursera.org/course/nlp

2. http://blog.csdn.net/huaweidong2011/article/details/7727482

           

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