约瑟夫问题 约瑟斯置换 丢手绢问题 约瑟夫环
问题来历
据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。
https://www.bilibili.com/video/av7885066
原始问题
N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉
例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3，1
模拟游戏过程
模拟游戏过程，循环数组报数：O(nm)
#include<iostream>
using namespace std;
main()
{
bool a[101]={0};
int n,m,i,f=0,t=0,s=0;
cin>>n>>m;
do
{
++t;//逐个枚举圈中的所有位置
if(t>n)
t=1;//数组模拟环状，最后一个与第一个相连
if(!a[t])
s++;//第t个位置上有人则报数
if(s==m)//当前报的数是m
{
s=0;//计数器清零
cout<<t<<' ';//输出被杀人编号
a[t]=1;//此处人已死，设置为空
f++;//死亡人数+1
}
}while(f!=n);//直到所有人都被杀死为止
}
递推公式
参考：https://blog.csdn.net/u011500062/article/details/72855826
递归：O(n)
-
第一个被删除的数为 (m-1)%n。
-
假设第二轮的开始数字为k，那么这n - 1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, k +3, …,k - 3, k - 2。做一个简单的映射。
k -----> 0 k+1 ------> 1 k+2 ------> 2 ... ... k-2 ------> n-2
这是一个n-1个人的问题，如果能从n-1个人问题的解推出 n 个人问题的解，从而得到一个递推公式，那么问题就解决了。假如我们已经知道了n-1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为 (x + k) % n。其中k等于m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n
-
第二个被删除的数为(m - 1) % (n - 1)。
-
假设第三轮的开始数字为o，那么这n - 2个数构成的约瑟夫环为o, o + 1, o + 2,…o - 3, o - 2.。继续做映射。
o -----> 0 o+1 ------> 1 o+2 ------> 2 ... ... o-2 ------> n-3
这是一个n - 2个人的问题。假设最后的胜利者为y，那么n -1个人时，胜利者为 (y + o) % (n -1 )，其中o等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)
要得到n - 1个人问题的解，只需得到n - 2个人问题的解，倒推下去。只有一个人时，胜利者就是编号0。下面给出递推式：
f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1)
#include <iostream>
using namespace std;
const int m = 3;
int main()
{
int n, f = 0;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) f = (f + m) % i;
cout << f + 1 << endl;
}
约瑟夫问题10e100版
-
描述
n个人排成一圈。从某个人开始，按顺时针方向依次编号。从编号为1的人开始顺时针“一二一”报数，报到2的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。由于人的个数是有限的，因此最终会剩下一个人。试问最后剩下的人最开始的编号。 -
输入格式
一个正整数n，表示人的个数。输入数据保证数字n不超过100位。 -
输出格式
一个正整数。它表示经过“一二一”报数后最后剩下的人的编号。 -
样例
样例输入1
9
样例输出1
3 -
限制
各个测试点1s -
提示
样例说明
当n=9时，退出圈子的人的编号依次为：
2 4 6 8 1 5 9 7
最后剩下的人编号为3
先暴力打表，找到规律：
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cstring>
int vis[10001]= {0};
int main() {
freopen("output.txt","w",stdout);
for(int z=1; z<=10000; z++) {
memset(vis,0,sizeof(vis));
int n,count=0;
n=z;
int now=1,next=1,kill=0;
while(count<n-1) {
do
next=(next-1+1)%n+1;
while(vis[next]);
if(kill) {
count++;
vis[now]=1;
kill=0;
} else
kill=1;
now=next;
}
for(int i=1; i<=n; i++)
if(!vis[i])
printf("%d,",i);
}
return 0;
}
找到规律后，再用高精度