范数的共轭函数

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共轭函数的定义：
设函数 $f: \R^n \rightarrow \R$，定义函数 $f^*: \R^n \rightarrow \R$ 为 $f^*(y) = \sup_{x \in dom f} (y^Tx - f(x)),$ 称 $f^*$ 为 $f$ 的共轭函数。其定义域为 $\{y | f^*(y) < \infty \}$显然，无论 $f$ 是否为 凸函数， 其共轭函数永远是 凸函数，因为它是一系列凸函数的逐点上确界。

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结论:
范数的共轭函数是其对偶范数单位球的示性函数。

具体描述：
若 $|| · ||$ 表示 $\R^n$ 上的范数，其对偶范数为 $||· ||_*$。则 $f(x) = ||x||$ 的共轭函数为 $f^*(y)=\left\{ \begin{array}{lr} 0, \;\;\;\; ||y||_* \leq 1& \\ \infty, \;\;otherwise& \end{array} \right.$

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证明：

若 $||y||_* > 1$， 根据对偶范数的定义，存在 $z \in \R^n, ||z|| < 1$ 使得 $y^Tz > 1$。 取 $x = tz$，令 $t \rightarrow \infty$ 可得 $y^Tx -||x|| = t(y^Tz - ||z||) \rightarrow \infty$即 $f^*(y) = \infty$，没有上界。反之，若 $||y||_* < 1$，对任意 $x$，有 $y^Tx \leq ||y||_*||x|| \leq ||x||$，即 $y^Tx -||x|| \leq 0$当 $x=0$ 时取等号，故 $f^*(y) = 0$。