特征函数的共轭

特征函数 $M(it)$是一个随机变量 $X$ 的特征函数，其中 $i$ 是虚数单位（即$i^2=-1$)，$t$ 是实数。特征函数的定义如下：
$$M(t)=E(e^{itX})$$
对于任何实数 $t$，有以下关系成立：
$$M(-t)=E(e^{-itX})$$
将$t$ 替换为 $-t$，得到$M(-t)$ 的定义。现在，我们知道
$$e^{-i\theta }=\cos (\theta )-i\sin (\theta )$$

因此：
$$M(-t)=E(\cos (tX)-i\sin (tX))$$
特征函数的共轭关系是
$$M(-t)=\overline{M(t)}$$
其中上方横线表示共轭。所以：
$$\overline{M(t)}=E(\cos (tX)+i\sin (tX))$$
因此， $M(it)$ 与 $M(-it)$ 的关系是：
$$M(-it)=\overline{M(it)}$$
简而言之，特征函数的负虚部与其共轭的关系。