COCI2014/2015 Contest#1 D MAFIJA（树形DP/贪心）

版权声明：我这种蒟蒻的文章，真正的大佬一般看不上的_(:з」∠)_ https://blog.csdn.net/Paulliant/article/details/82893962

题意

给定一个 $n$ 个节点的图，每个点有且仅有一条出边，选取最多的点使得没有边连接相邻两个选中点。
$1 \leq n \leq 500000$

思路

把图当无向图看，就是求无向图中的最大独立集。但这张图不是一般的图，它是一棵“基环内向树”，如下图所示：

这种图最明显的特征就是每个点只有一条出边，根据这个性质，每个点按边的指向 $\text{dfs}$，总能遇到一个环，基环外向树则反之。而对于一个连通块而言，拆去环上的一条边，形成的无向图是一棵树。这些性质为树形 $\text{DP}$ 和贪心提供了条件。
树上的最大独立集就是简单的“取与不取”的转移，想要求解必须要转化成树的问题。我们可以通过分析答案来决定决策（终态分析），任意拆去环上的一条边 $(a,b)$ 最后的答案中 $a,b$ 中至少有一个点不取，那我们断去 $(a,b)$ 边后，以 $a$ 为根，以 $b$ 为根分别 $\text{dp}$ 一次，分别取 $dp_{a,0},dp_{b,0}$，再取 $\max$。最后把所有连通块的答案相加即可。其中因为只需任意拆一条边，也只用拆一条边，可以在并查集并边的时候，不连接将会成环的边，并存下这条边即可。这种写法在基环树转一般树的写法中有拓展性。
贪心的写法正确性不是那么显然。首先对于环外的情况，肯定是挑入度为零的点，可以证明假设挑入度更大的点没有入度为零的点优。那就可以按照这个步骤隔一个的挑点。假设标到了环上的点，那就可以直接把环剖开了，最后把没剖开的环重新剖一次。只需要用一个 $\text{vis}$ 数组去标记遍历过的点，然后传一个参数表示这个点选不选，同时统计答案。

代码

树形DP

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N=1e5+3;
template<const int maxn,const int maxm>struct Linked_list
{
    int head[maxn],to[maxm],nxt[maxm],tot;
    void clear(){memset(head,-1,sizeof(head));tot=0;}
    void add(int u,int v){to[++tot]=v,nxt[tot]=head[u],head[u]=tot;}
    #define EOR(i,G,u) for(int i=G.head[u];~i;i=G.nxt[i])
};
Linked_list<N,N<<1>G;
int fa[N],n;
int getfa(int k){return k==fa[k]?k:fa[k]=getfa(fa[k]);}
bool mer(int x,int y)
{
    int fx=getfa(x),fy=getfa(y);
    if(fx==fy)return 0;
    fa[fx]=fy;
    return 1;
}
int To[N],dp[N][2],ans;
int ra[N],rb[N],cnt;
 
void dfs(int u,int f)
{
    dp[u][0]=0,dp[u][1]=1;
    EOR(i,G,u)
    {
        int v=G.to[i];
        if(v==f)continue;
        dfs(v,u);
        dp[u][0]+=max(dp[v][0],dp[v][1]);
        dp[u][1]+=dp[v][0];
    }
}
 
int main()
{
    G.clear();
    int n;
    scanf("%d",&n);
    FOR(i,1,n)fa[i]=i;
    FOR(i,1,n)
    {
        scanf("%d",&To[i]);
        if(mer(i,To[i]))
        {
            G.add(i,To[i]);
            G.add(To[i],i);
        }
        else cnt++,ra[cnt]=i,rb[cnt]=To[i];
    }
    FOR(i,1,cnt)
    {
        dfs(ra[i],0);
        int maxer=dp[ra[i]][0];
        dfs(rb[i],0);
        maxer=max(maxer,dp[rb[i]][0]);
        ans+=maxer;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

贪心

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N=1e5+3;
int To[N],ind[N],n,ans;
bool vis[N];
 
void dfs(int u,bool kl)
{
    if(vis[u])return;
    vis[u]=1;
    ans+=kl;
    ind[To[u]]--;
    if(!ind[To[u]]||kl)dfs(To[u],!kl);
}
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    FOR(i,1,n)scanf("%d",&To[i]),ind[To[i]]++;
    FOR(i,1,n)if(!ind[i])dfs(i,1);
    FOR(i,1,n)dfs(i,0);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}