Uva12716 GCD XOR 乱搞

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Description

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求 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [gcd(i,j)=i \oplus j]$
其中那个符号是按位异或
n<=1e6

Solution

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我们钦定 $a&gt;b$
首先证明 $gcd(a,b)\leq a-b$
$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)\leq a-b$，由辗转相减可知等式成立，且a和b的约数不大于min(a,b)

然后有 $a\oplus b\geq a-b$
我们把 $a$中是0且 $b$中是1的位置交换，记为 $a&#x27;$和 $b&#x27;$
有 $a&#x27;\oplus b&#x27;=a&#x27;-b&#x27;=a\oplus b$
然后就可以发现 $a\oplus b=a&#x27;-b&#x27;\geq a-b$是成立的

综合一下看可以发现 $gcd(a,b)=a\oplus b=a-b$
令 $c=a-b$，有 $gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=a\oplus b$
然后套c进去有 $gcd(b,c)=c$，于是我们枚举c，枚举c的倍数就可以nlogn做了

Code

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口胡题解不写代码