P2342 叠积木
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题目背景
Cube Stacking, 2004 Open
题目描述
约翰和贝西在叠积木。共有30000块积木，编号为1到30000。一开始，这些积木放在地上，自然地分成N堆。贝西接受约翰的指示，把一些积木叠在另一些积木的上面。一旦两块积木相叠， 彼此就再也不会分开了，所以最后叠在一起的积木会越来越高。约翰让贝西依次执行P条操作，操作分为两种：
? 第一种是移动操作，格式为“移动X到Y的上面”。X和Y代表两块积木的编号，意思是将X所的那堆积木，整体叠放到Y所在的那堆积木之上；
? 第二种是统计操作，格式为“统计Z下方的积木数量”。Z代表一块积木的编号，意思是贝西需要报告在编号为Z的积木之下还有多少块积木
请编写一个程序，帮助贝西回答每条统计问题。
输入格式：
? 第一行：单个整数：P，1 ≤ P ≤ 10^5
? 第二行到第P + 1行：每行描述一条命令，如果这行开头的字母是 M，代表一条移动命令，后面的两个整数代表上文中的X和Y；如果开头字母是 C，代表一条统计命令。后面的整数代表上文中的Z，保证所有的移动命令都有意义，X和Y不会已经出现在同一堆积木里
输出格式：
? 对每一个统计命令，输出正确回答，用换行符分开每个查询的结果
输入样例：
6
M 1 6
C 1
M 2 4
M 2 6
C 3
C 4
输出样例：
1
0
2
说明
第一次查询时， 1 下面只有一个 6；第二次查询时， 3 下面没有任何积木；第三次查询时，4 下面有两块积木：1 和 6
题解
真不知道洛谷题时是不是没人会加LG前缀
这题最容易想到的就是利用并查集来求。
用C数组表示每个箱子下面的箱子个数。
我们不可能每次移动后去更新每个箱子。
显然，那样效率太低了。
解决方案之一就是每次推的时候（即刷并查集的时候）修正。
想象一下（或者打开你的mspaint.exe），如果现在我们把一个积木 1 移动到另一个积木 2 上面，我们应该把谁设为父节点？
经过尝试你会发现，如果把 1 设为父节点，也就是把最顶上的设为父节点。
假设 1 为这堆最顶上的，2 为这堆最底下的。
那么当你把这堆东西放到另一堆东西上时，你会发现 2 以下下的积木数量修正以后无法传递给上面的积木。（路径压缩后的并查集是多叉树，难以继续修正）
而询问 2 上面积木的时候也不知道该通过谁来修正一趟。
所以，我们还是把最底层的设为根节点。
接下来，我们考虑一下怎么修正。
如果把 1 移到以 2 为堆底的那堆上面，又把 2 移动到其他东西上面，此时我们再求 1 的父节点时的便利过程：
1->2->fa[2]->……end，最终 1 的父节点会被修正成 end。
（压缩路径后为多叉树）
我们把一棵以 2 为根树接到一棵以 end 为根的树上（接在end上），然后需要在压缩路径的同时修正答案。
（2 的答案以及修正了）
我们从 2 的一个子节点开始看，可以发现我们只需把 2 的答案叠加给它就好了。
因为 c[2] 原本为 0（因为它是堆底，下面不可能有东西），这样也保证了我们重复求一个点祖先的时候不会把答案叠加重复。
那么，如果是 2 的儿子的儿子呢？
既然它不是 2 的直属，那么说明这条路径没压缩过。假设 2 有个儿子 x，这个 x 也有个儿子 y，显然，y 的祖先从 x 变成 2 的时候，也并没有把增加的代价叠加过来，而增加的代价正好是 x 当前的值。
真妙啊，此时会发现，或许给 C 数组换一个定义就可以更好地理解。
C[x] 表示：节点 x 的子节点的懒惰标记。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=3e4+5;
int n=3e4,m,fa[maxn],ans[maxn],H[maxn];
int rad()
{
int ret=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
return ret*f;
}
int get(int x)
{
return x!=fa[x]?get(fa[x]),ans[x]+=ans[fa[x]],fa[x]=fa[fa[x]]:x;
}
int main()
{
m=rad();
for (int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i,ans[i]=0,H[i]=1;
char ch;
for (int i=1;i<=m;++i)
{
cin>>ch;
if (ch=='M')
{
int x=get(rad()),y=get(rad());
if (x==y) continue;
fa[x]=y;
ans[x]+=H[y];
H[y]+=H[x];
}else
{
int x=rad();
get(x);
printf("%d\n",ans[x]);
}
}
return 0;
}