NOIP前集训总结

注意事项和小trick：

1.该开long long开long long，不开long long 见祖宗。
2.各数据范围的上限复杂度：
$10^7$ ~ $3*10^7$ ： $O(n)$
$10^6$ ： $O(n\log{n})$
$2*10^5$ ： $O(n\log^2{n})$
$10^5$ ： $O(n\sqrt{n})$
$3*10^5$ ： $O(n\sqrt{n}\log{n})$
$5*10^3$ ： $O(n^2)$
$10^3$ ： $O(n^2\log{n})$
3.若数据范围中 $n$ 比较小，往状压方面想，适当想想搜索。
4.一般需要决策的题目，若可以优化，则可以用DP，但一般数据范围比较大就会有性质，根据性质来寻找最优决策或简化状态，若状态空间过大，一般以贪心为主。
5.记住出度为 $\sqrt{m}$ 的建图方式，在一些计数题中有用。
6.计数问题，当DP很难算时，想想容斥，以及补集转化：至少，至多相减。

10.15

今天是第一场模拟赛，成功智商下线。八点开始看题，T1一眼二分一个值，然后判是否能从(0,0)走到(x,y)，这时候脑子抽了，想到用射线法，边界之间连边，判是否会包围(0,0)。事实上这个是对的，但出现各种细节错误，而且此题暴力不可打，不可拍，导致成功爆零。其实可以直接判断边界之间能不能互相联通也可。T2基环树上求所有最短路径最大值。考虑把环去掉先。可以求出森林直径，并得到每个点的最长链，然后在环上DP一下就好。但由于细节太麻烦，我调了两个半小时，导致整场比赛下来就A掉这一题。T3分析性质后可以用 $f_{i,0/1}$ 做一个简单的树形DP。总的来说，代码能力需要加强，对于一道题不要只想一条思路，要多想几个方向，既检查想法正确性又扩展思维，最近状态不佳，需要调整。

10.16

今天这场比赛真的不能不被吐槽。T1一道大水题DP(虽然我WA了)，T2知道虚树的一般都会做，T3原题。。。。开场先写完T1，然后敲完T2，T3直接用原题程序。不用多少时间就写完了。但是代码量很大，这场比赛简直无脑，不能检验我真实水平和提升(真实水平很菜，只会模板，原题)。T1因为数组边界问题而WA，以后比赛要注意输入每个值的取值，看是否有枚举漏的。

10.17

这场比赛并没有拿到可以拿到的分数。T1是可以摸索出正解的，但是并没有拿到满分，在于并没有对拍，仅仅考虑两个序列不同的位置可以互相移，但是可能会出现换不到另一个数的情况，只能考虑先把手中数放好，然后抓一个另外的数来换到另一个位置，考虑不等的位置 $a_i$ 向 $b_i$ 连边，表示要换到这个位置，相邻联通块之间互相跳需要 $1$ 的代价，最后答案加上联通块个数 $-1$ 即可。T2拿到了满分，套路的期望DP。T3的博弈题， $n^2$ 的 $sg$ 做法十分显然。考虑优化，发现行不通，那么就要考虑猜结论了。考虑什么情况下最优的使其必定能赢，尽量让状态定在一个位置，便是向其相反的操作来做，或者故意让一步，达到目标状态，其实这个结论不是很难猜，稍微观察手推，思考一下应该就能发现。对于挖掘性质，转换模型的题目不熟悉，要多多转换题意，猜测最优状态下的决策，性质。

10.18

前两题比较简单，T1显然的 $n^3$ 状态的DP，考虑优化，我们是最大最小值，缩小状态就套路的枚举最小值，那么最大值也确定， $O(n)$ DP即可。T2过水。T3首先发现答案显然具有可减性，那么使用括号序肯定最优，次数我们可以使用 $AC$ 自动机解决，那么转换为一个二维偏序，但是这时候其他数据结构都会被卡掉，必须要去除其中一个偏序的影响。我们是在整个 $AC$ 自动机上搞，所以会有一维偏序，考虑每一次把括号序上的串的 $AC$ 自动机构出来。考虑到其是一个区间且 $AC$ 自动机形态不变，我们用线段树维护 $AC$ 自动机，即对于线段树上每一个节点代表的区间构 $AC$ 自动机来搞，那就只剩一维偏序了，空间也不愁。当一些做法遇到瓶颈的时候，想想是哪些东西拖了后腿，考虑去除掉一些东西，或者简化一些东西，发掘这些东西的性质，什么在变，什么不变。

10.19

今天这场比赛做的很糟糕。T1比较简单，很快注意到怎么判有解，注意到多余边无用，建出生成树随便做即可。开始肝T2，一开始天真的以为以每一个景点作为起点跑一遍DP即可。后来发现不可行，这时候考虑了倒着DP，但是发现这样好像不太对劲，算不了答案就弃掉这种想法，继续想，然后考虑到第一步的结论，却始终过不了样例，离比赛结束30分钟看T3。却发现比较简单，但没有时间写了。匆匆交了T2错误的程序，比赛就结束了。有时有一些看起来无从深入的想法，往往可以仔细探究，不能轻易丢弃想法，比赛时应该仔细想题，看每一道题，若有确定的解法才开始写，多想一想，想多一点。思维总是转换的过于迅速，跳跃是好事，但不能够快速的过滤想法，想到一个东西，应停下来，仔细分析一波。

10.22

开场开下T1，本来觉得非常难做，突然发现图是一棵仙人掌，那么只要把所有环拉出来，那么对于一个右端点，合法的最左端点一定是单调的，我们可以把它弄出来，查询二分一下即可。T2求动态LIS，观察发现只需要知道每个数是否存在于所有LIS中，这个比较难想，需要分析性质，想了半天没什么好想法，打了60分暴力走人。
(如果继续分析下去，感觉发现这个性质不难，对于一个位置，若他在所有LIS中，那么他的排名是固定的，若跟它处于同一排名的数可以成为LIS，显然这个数不会在所有LIS中)
T3套路的枚举 $a_i,a_j$ ，然后统计答案，发现要乘上一个系数，这个系数和错排有关，套路地容斥出三个系数，然后分类讨论即可。
思维太僵，不会发现性质，有性质在手不会利用。

10.23

这场比赛真的很无语，三题都是想到了正解，却没打出来。
T1看了半小时，发现他可以每一次操作相当于把 $l,r$ 先赋为 $1$ ，然后做 $k$ 次前缀和，当时觉得这玩意差分能做，然后码了出来，然后样例一直WA，就认为这个做法是错误的，弃了。
事实上把 $k$ 从大到小做就好做多了，或者排序，对于每一个 $k$ 做。
T2很套路的计数题，发现刚好等于 $k$ 的答案很难算，可以用大小至多为 $k$ 减去大小至多为 $k-1$ ，这个可以 $DP$ 算，预处理 $n$ 个点标号无向连通图方案就好。
T3数据结构题，想了一会 $log$ 做法，不太会，然后转念想了一下，可不可以分块，发现，只需要用链表维护每一块相对位置，即可，此时离比赛结束仅有40分钟，到最后也没有调出来。
总之很可惜，思维过弱，代码实现能力差，多想想与其有点关系的东西，看是否能够借此得出答案。

10.25

这场比赛成功降智。T1一眼以为是道大水题，不管怎么染代价不变，枚举最后颜色，计算答案即可，然后没有举出反例，成功GG。事实上可以先染成小的最后染成目标颜色，所以我们可以设计一个DP，设 $f_i$ 表示前 $i$ 个瓶子染成目标颜色的代价，每次枚举一个区间先变成最小值再染，然后倒着做一遍，枚举一个中间点，表示从它开始往两边染算答案。
T2是个SB套路题，排序枚举边权然后启发式合并即可。然而数组开小RE，成功送掉70分。
T3不可做，不可改。。。。。。

10.26

再次降智，T1是个找规律or推式子题，一开始想的就是枚举深度算答案，结果这个想法我给弃了，弃了。。。。最后推出了一个递推式，60分滚粗，T2题意都看不懂，跳了，转化后是求一个期望LIS，用一个比较神奇的DP可以做到 $O(n^2*2^n)$ 。T3套路求 $gcd$ ，那么肯定先分解质因数啊，考虑对于每种质因数分开做，要取 $min$ ，还要关注深度，子树信息，发现深度那个可以差分掉，那么排序，用树状数组维护即可。复杂度 $O(8n\log{n})$

10.30

这场比赛打得还算不错，T1很水，随意贪心一下即可。T2肯定要二分啊，然后怎么做，发现要答案正确就一定要确定一个取值区间？挖掘答案性质就能发现，全局最大最小最优情况一定在两部分，那么就能确定区间了，上下扫一遍出解。T3先转化题意为加入权值和尽量大的边，使树上仅有奇环，考虑一条非树边会覆盖一条路径，一条树边不能被覆盖两次，并且每个点的度数不会超过10，于是我们可以设计一个状压DP，状压是否要考虑儿子的贡献，把路径挂在lca上，然后dfs一遍DP出解。