图像处理与图像识别笔记（二）图像变换

在本章节中，将介绍几种常用的图像变换的方法，即利用数学公式将图像变换成另一种具有特定物理意义的图像，通过新的图像，我们可以观察出原图像的某些特性，且可以对原图像进行滤波、压缩等图像处理的操作，包括傅里叶变换、沃尔什变换等。

一、图像傅里叶变换基本原理与实现

傅里叶变换，是将时域信号转换为频域信号的变换方法，将时域信号分解为频率不同的正弦波信号的方法，也就是说，任何一个信号都是若干个正弦信号所叠加。通过傅里叶变换，我们就可以得到信号的频率特性，是高频成分多一点，还是低频成分多一点，每个成分的幅值和相位是多少（频谱图和相位图）。

图像是离散的二维信号，可以通过二维傅里叶变换实现到频域的转换，转换前的图像矩阵是由实数组成的，转换后的频域矩阵是复数阵，变换公式如下所示， $x,y$是图像阵的坐标， $u,v$是频域阵的坐标，两者没有一一对应的关系，频域阵中每一个点都是对图像阵中每一个像素点进行了运算的。

我们关注的是通过傅里叶变换获得图像的频谱图与相位图，计算方法如下，

     

接下来我们用python代码来实现傅里叶变换，得到图像的频谱图与相位图，实验图像是Lena。

计算频谱图的代码如下，

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pylab
img = cv2.imread('Lena.jpg',0)
f = np.fft.fft2(img)	#傅里叶变换
fshift = np.fft.fftshift(f) 	#将零频点移到图像中央
s1 = np.log(np.abs(f))	 #先进行绝对值运算，然后取对数，限制数值范围
s2= np.log(np.abs(fshift))
plt.subplot(121),plt.imshow(s1,'gray'),plt.title('original')
plt.subplot(122),plt.imshow(s2,'gray'),plt.title('center')
pylab.show()

得到结果，第一幅图是原始傅里叶变换的结果，我们可以这样理解这幅图片，中心是高频部分，四周是低频部分，横轴是原图片横向方向的傅里叶频谱，纵向是原图片纵向方向的傅里叶频谱，为是频谱具有一致性与可观性，我们将零频点，也就是四个角上的点，移到频谱图的中心得到第二幅图，得到的频谱图中心是低频部分，四周是高频部分。图中高亮的点代表成分多的某一频率，灰暗的点代表成分少的某一频率。如果一幅图片高频部分多是高亮，代表图像尖锐，变化剧烈，边界分明且两边像素差距极大；反之，图片低频部分高亮，高频部分灰暗，代表图片平缓、柔和。
观察实验图像的频谱结果，中心点高亮，低频部分占据成分大，图片总体表现的平缓。

接下来我们来实现相位的部分，实现代码如下，

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pylab
img = cv2.imread('Lena.jpg',0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f) 
xw = np.angle(f);	#np.angle()函数求相位，arctan（虚部/实部）
xw_shift =np.angle(fshift)
plt.subplot(121),plt.imshow(xw,'gray'),plt.title('original')
plt.subplot(122),plt.imshow(xw_shift,'gray'),plt.title('center')
pylab.show()

得到结果，图中的点代表频谱图中对应频率的相位值。

二、图像傅里叶变换的应用

1、傅里叶变换在图像滤波中的应用
经过傅里叶变换后的图像中间部分为低频部分，越靠外频率越高，因此，我们可以选择所需要的高频或是低频进行滤波。高频反映图像中的细节，低频反映图像中的整体概貌。
低通滤波代码如下，

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pylab

def LPF(img,radius = 50): 	#定义低通滤波函数，radius：低通半径，半径越小，低通效果越明显，图片越模糊
	rows,cols = img.shape
	mrows = int(rows/2)
	mcols = int(cols/2)
	mask = np.zeros((rows,cols),np.uint8)	#创建掩码
	mask[mrows-radius:mrows+radius,mcols-radius:mcols+radius] = 1
	return mask	
	
def main():
	img = cv2.imread('Lena.jpg',0)
	f = np.fft.fft2(img)
	fshift = np.fft.fftshift(f) 
	fshift = fshift*LPF(img) 	#低通滤波，即与掩码相乘，过滤掉频率高的部分
	#逆变换
	f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
	img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
	img_back = np.abs(img_back)
	plt.imshow(img_back,'gray'),plt.title('radius=50')
	pylab.show()

if __name__=="__main__":
	main()

结果如下，

高通滤波代码如下，

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pylab

def HPF(img,radius= 50): #高通滤波函数，radius：高通半径，半径越大，高通效果越明显，图片越尖锐
	rows,cols = img.shape
	mrows = int(rows/2)
	mcols = int(cols/2)
	mask = np.zeros((rows,cols),np.uint8)	#创建掩码
	mask[:,:] = 1
	mask[mrows-radius:mrows+radius,mcols-radius:mcols+radius] = 0
	return mask	

def main():
	img = cv2.imread('Lena.jpg',0)
	f = np.fft.fft2(img)
	fshift = np.fft.fftshift(f) 
	fshift = fshift*HPF(img,1) 	#高通滤波，即与掩码相乘，过滤掉频率高的部分
	#逆变换
	f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)	
	img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
	img_back = np.abs(img_back)
	plt.imshow(img_back,'gray'),plt.title('radius=50')
	pylab.show()
	
if __name__=="__main__":
	main()

结果如下，

对比结果可以发现，低通滤波让图片变得更加模糊，过滤掉了图片中边缘的、尖锐的部分；高通滤波让图片变得更加尖锐，过滤掉了图片中平缓的部分，留下边缘的、尖锐的部分。

2、傅里叶变换在图像压缩中的应用
原理很简单，将高频系数设置为0，压缩效果如下，

     

未完待续