noip_最后一遍_1-数论部分

它就是要来了

noip数论一般会以三种形式呈现

1.结论规律与打表技巧

这类的题最杰出的代表是小凯的疑惑

打表技巧的话主要是研究三个要点

1.一个输入数据和模数时

oeis这个时候最好用了不过没有

我们需要重点研究的是递推关系，差，二阶差这样

这时候我们会发现三类数据

· 等差等比二阶等差二阶等比等差等比………………这种都是有通项的考验数学能力

· 与二进制和唯一分解定理有关

这个内容多展开说

lowbit 1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1,5…………这个东西太常见了不就是x&(-x)么好的可以开始考虑o n 数学方法比如化简Σ之类的

唯一分解定理目前我所见都很天然的一眼就能看出来

二进制的1个数这个东西是个阶梯状函数所以也是比较容易找到规律的至于如何统计大概只能枚举位数

· 递推-这个时候就看一下数据如果小或者递推关系复杂就考虑dp与暴力枚举，否则上矩阵（一定要注意一下）

2.两到三个数据没什么办法直接找

3.一行数据（那其实是不等式和贪心）排序值均值大概率在考纲之中柯西的话我想没那么好出

本部分需要用的模板所有代码最新手打测试无误可以使用

1.快速幂、快速乘

快速幂：a^p-2=a^(-1)(modp);

 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<algorithm>
 4 #define ll long long
 5 using namespace std; 
 6 ll n,k,x,a,b;
 7 ll ksc(ll a,ll b,ll p){ll ans=0,base=a;
 8     for(;b;b>>=1){if(b&1)ans+=base,ans%=p;
 9         base*=2,base%p;
10     }return ans;
11 }
12 int main(){cin>>a>>b>>n;
13     cout<<ksc(a,b,n)<<endl;
14 }

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#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std; 
ll n,k,x,a,b;
ll ksm(ll a,ll x,ll p){ll ans=1,base=a;
    for(;x;x>>=1){if(x&1)ans*=base,ans%=p;
        base*=base,base%p;
    }return ans;
}
int main(){cin>>a>>b>>n;
    cout<<ksm(a,b,n)<<endl;
}

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2.线性筛素数 phi mu

 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 #define ll long long
 6 #define maxn 5000001
 7 bool isprime[maxn];int n,m,sum=0,prime[maxn];
 8 void shai(){
 9     for(int i=2;i<maxn;i++){
10         if(!isprime[i])prime[sum++]=i;
11         for(int j=0;j<sum&&i*prime[j]<maxn;j++){
12             isprime[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0)break;
13         }
14     }
15 }int main(){
16     cin>>n;shai();for(int i=0;i<=n;i++)cout<<prime[i]<<" ";
17 }

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 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 #define ll long long
 6 #define maxn 5000001
 7 bool isprime[maxn];int n,m,sum=0,prime[maxn],phi[maxn];
 8 void shai(){phi[1]=1,phi[2]=1; 
 9     for(int i=2;i<maxn;i++){
10         if(!isprime[i])prime[sum++]=i,phi[i]=i-1;
11         for(int j=0;j<sum&&i*prime[j]<maxn;j++){
12             isprime[i*prime[j]]=1;phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
13             if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
14         }
15     }
16 }int main(){
17     cin>>n;shai();for(int i=0;i<=n;i++)cout<<phi[i]<<" ";
18 }

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 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 #define ll long long
 6 #define maxn 5000001
 7 bool isprime[maxn];int n,m,sum=0,prime[maxn],phi[maxn],mu[maxn];
 8 void shai(){phi[1]=1,phi[2]=1;mu[1]=1; 
 9     for(int i=2;i<maxn;i++){
10         if(!isprime[i])prime[sum++]=i,phi[i]=i-1,mu[i]=-1;
11         for(int j=0;j<sum&&i*prime[j]<maxn;j++){
12             isprime[i*prime[j]]=1;phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);mu[i*prime[j]]=-mu[i];
13             if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j],mu[i*prime[j]]=0;break;}
14         }
15     }
16 }int main(){
17     cin>>n;shai();for(int i=0;i<=n;i++)cout<<mu[i]<<" ";
18 }

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3.数论分块这是个技巧……

4.矩阵快速幂

noip_最后一遍_1-数论部分

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