孤独一生

题目描述

下课了， Polo 来到球场，但他到了之后才发现……被放了飞机……

无事可做的他决心找点乐子，比方说……跳台阶……

球场边有 N 个台阶拍成一行，第 i 个台阶的高度是 Hi(0<Hi<=10^9)，第 0个台阶，也就是地面的高度为 0。

Polo 打算把这 N 个台阶分成两个集合 Sa,Sb（可以为空），对于一个台阶集合 S={P1,P2,…P|S|}，

其中 P1<P2<…<P|S|，他需要花费 的体力值来完成。

现在他希望两次跳跃所需的总体力值最小，你能帮帮他吗？

题解

考虑一个O(n^2)DP，我们假定 $f[i][j]$表示 $A$集合以 $i$结尾， $B$集合以 $j$结尾， $i&gt;j$。我们画个图就可以发现 $当i,j之间有空格的时候，f[i][j]=f[i-1]+abs(h[i]-h[i-1]),i&gt;j+1$没有空格的时候我们要枚举 $f[i][i-1]=min(f[i-1][k]+abs(h[i]-h[k])+abs(h[i]-h[k])$可以理解为枚举B的长度（A，B）并不绝对，只是表示一个互异关系。
那么我们可以发现前者很好转移，后者不好转移，于是我们思考后者，其实我们发现后者的dp可以单独拿出来做记 $g[i]=f[i][i-1]$，则 $g[i]=min(g[j]+sum[i-1]-sum[j]+abs(h[i]-h[j-1])$同样可以理解成枚举集合长度。那么我们把绝对值拿掉就好做了，考虑做一个权值树状数组，一切就显然了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 500005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
LL read(){
    LL res,f=1; char c;
    while(!isdigit(c=getchar())) if(c=='-') f=-1; res=(c^48);
    while(isdigit(c=getchar())) res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);
    return res*f;
}
int p=1,n,h[maxn],d[maxn],rk[maxn];
LL sum[maxn],f[maxn],ans=INF;
struct TR{
    LL arr[maxn];
    TR(){
        memset(arr,0x3f,sizeof arr);
    }
    void update(int x,LL w,int f){
        for(;x>0 && x<=p;x+=f*(x&-x)){
            arr[x]=min(arr[x],w);
        }
    }
    LL query(int x,int f){
        LL res=INF;
        for(;x>0 && x<=p;x-=f*(x&-x)){
            res=min(arr[x],res);
        }
        return res;
    }
}a,b; //a:h[j]<h[i]   b:h[j]>=h[i]
bool cmp(int x,int y){return h[x]<h[y];}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        h[i]=read(); d[i]=i;
        sum[i]=sum[i-1]+abs(h[i]-h[i-1]);
    }
    sort(d+1,d+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) rk[d[i]]=h[d[i]]==h[d[i-1]]?p:++p;
    f[1]=h[1]; a.update(1,0,1); b.update(1,0,-1); ans=sum[n];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        f[i]=sum[i-1]+min(a.query(rk[i],1)+h[i],b.query(rk[i],-1)-h[i]);
        a.update(rk[i-1],f[i]-sum[i]-h[i-1],1);
        b.update(rk[i-1],f[i]-sum[i]+h[i-1],-1);
        ans=min(ans,f[i]+sum[n]-sum[i]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}