【数学】方差/标准差的各种估计辨析

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常用的方差(variance)、标准偏差(standard derivation)的内涵和计算方法有许多容易混淆之处，本文进行梳理。

统计量的定义

对于随机变量

对于随机变量$X$，我们用期望定义了其统计量。这些统计量都是固定的常数。
均值：

$$\mu = E\left[X\right]$$

方差：

$$var=\sigma^2=E\left[ (X-\mu \right)^2]=E\left[X^2\right]-\mu^2$$

标准偏差就是方差的平方根：

$$std=\sigma$$

对于已知样本集

如果全体样本集（polulation）的每一个样本$x_1,x_2...x_N$都能直接使用，可以直接计算出该样本集的各种统计量。

$$\mu = \frac{1}{N}\sum_ix_i$$

$$var=\frac{1}{N}\sum_i(x_i-\mu)^2$$

$$std=\sqrt{var}$$

这样计算得到的方差常被称为全体方差(population variance)。

统计量的估计

有时候无法得知统计量的实际值：
- 对于随机变量，无法观测产生这个变量的参数，只能得到一系列随机的采样；
- 对于数量巨大、甚至无穷多的样本集，我们无法使用全部样本进行计算，只能随机有放回地抽取一部分采样。

由于两种情况都包含有随机性，所以估计得到的统计量本身也是个随机变量，并非真实值。用上横线以示区分。

估计可以有不同方法，各有不同性质。

复习一下期望的性质。
$E(A+B)=EA+EB$, $E(AB)\neq EA \cdot EB$,
换言之：期望和线性运算可交换。

均值

对均值的估计直观而统一：

$$\bar{\mu} = \frac{1}{N}\sum_ix_i$$

这个估计是无偏的（估计的期望等于真实值）：

$$E\left[\bar{\mu}\right]=\frac{1}{N}\sum_iE\left[x_i\right]=E\left[X\right]=\mu$$

方差

方差涉及到二次项，情况复杂一些。

有偏方差

$$\bar{var}=\frac{1}{N}\sum_i(x_i-\bar{\mu})^2$$
这个估计是 有偏的。

证明提示：把$\bar{\mu}$写成$x_i$的求和形式。利用以下两个性质：
$E\left[x_i^2\right]=\sigma^2+\mu^2$
$E\left[x_i x_j\right]=E\left[x_i\right]E\left[x_j\right]=\mu^2$

具体推导引自wiki：

这样的估计方差总是小于真实方差。
估计方差和真实方差之间差距为$\frac{1}{N}\sigma^2$，采样越多，偏差越小。

换句话说，总有你想不到的幺蛾；见识越少，幺蛾越大。

不过，如果随机变量/样本集的均值已知，则类似的方差估计是无偏的：

$$\bar{var}=\frac{1}{N}\sum_i(x_i-\mu)^2$$

证明提示：$\mu$是常数，可以直接和期望交换。

无偏方差

对有偏方差进行矫正：

$$\bar{var}=\frac{1}{N-1}\sum_i(x_i-\bar{\mu})^2$$

标准偏差

标准偏差的问题更为复杂。从定义上来说$\bar{std}=\sqrt{\bar{var}}$。但由于开根号不是线性运算，不能和期望交换。

无矫正(uncorrected)标准偏差

喜闻乐见的直观形式：

$$\bar{std}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_i(x_i-\bar{\mu})^2}$$

这个估计当然是有偏的（比真实值小），不过是一致的(consistent，随着N增大依概率收敛到真值)。

矫正(corrected)标准偏差

通过对无偏方差开根号得来：

$$\bar{std}=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_i(x_i-\bar{\mu})^2}$$

需要注意的是，由于平方根不能和期望交换，这个估计依然是有偏的，不过比前一个估计好一些。

考察这个估计的期望：

$$E\left[\bar{std}\right]=E\left[\sqrt{\bar{var}}\right]$$
再考虑交换运算的式子：
$$\sqrt{E\left[ \bar{var} \right]}=\sqrt{var}=std$$
由于期望是线性运算，开根号是凹函数，根据延森不等式：
$$E\left[\bar{std}\right]=E\left[\sqrt{\bar{var}}\right]<\sqrt{E\left[ \bar{var} \right]}=\sqrt{var}=std$$

这个估计仍然比真实的标准偏差小。具体小多少，要依数据分布而定。

无偏标准偏差

不同随机变量的无偏标准偏差估计具有不同形式，具体参看这里。
一个近似的估计是将前一方法中的分母$N-1$增大为$N-1.5$：

$$\bar{std}=\sqrt{\frac{1}{N-1.5}\sum_i(x_i-\bar{\mu})^2}$$