logistic回归详解一：为什么要使用logistic函数

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/51154481

从线性分类器谈起

　　给定一些数据集合，他们分别属于两个不同的类别。例如对于广告数据来说，是典型的二分类问题，一般将被点击的数据称为正样本，没被点击的数据称为负样本。现在我们要找到一个线性分类器，将这些数据分为两类（当然实际情况中，广告数据特别复杂，不可能用一个线性分类器区分）。用X表示样本数据，Y表示样本类别（例如1与-1，或者1与0）。我们线性分类器的目的，就是找到一个超平面（Hyperplan）将两类样本分开。对于这个超平面，可以用以下式子描述：

$$\omega^{T}x + b = 0$$

　　对于logistic回归，有：

$$h_{\theta}(x) = g(\theta^{T}x) = \frac{1}{1+e^{-\theta^{T}x}}$$

　　其中 $x$ 为样本，$x = [x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 为n维向量，函数g为我们常说的logistic函数。g的更一般公式为：

$$g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$$

　　这个公式，对机器学习稍微有点了解的同学可能都特别熟悉，不光在logistic回归中，在SVM中，在ANN中，都能见到他的身影，应用特别广泛。大部分资料在谈到这个式子时候，都是直接给出来。但是不知道大家有没有想过，既然这个式子用途这么广泛，那我们为什么要用它呢？

　　是不是已经有好多人愣住了。大家都是这么用的。书上都是这么写的啊。是的，但是当一个东西老在你眼前晃来晃去的时候，你是不是应该想想为什么呢？反正对于我来说，如果一个东西在我眼前都出现了第三次了而我还不知其所以然，我一定会去想方设法弄明白为什么。

为什么要用Logistic函数

　　学过模式识别的同学肯定学过各种分类器。分类器中最简单的自然是线性分类器，线性分类器中，最简单的应该就属于感知器了。在上个世纪五六十年代，感知器就出现了：

$$y = 0, \sum_{i=1}^n\omega_ix\leq b$$
$$y = 1, \sum_{i=1}^n\omega_ix\gt b$$

　　感知器的思想，就是对所有特征与权重做点积（内积），然后根据与阈值做大小比较，将样本分为两类。稍微了解一点神经网络的同学，对一下这幅图一定不陌生：

　　没错，这幅图描述的就是一个感知器。
　　我考研考的是控制原理，如果学过控制原理或者学过信号系统的同学，就知道感知器相当于那两门课中的阶跃函数：

　　这两者的本质都是一致的，即通过划定一个阈值，然后比较样本与阈值的大小来分类。

　　这个模型简单直观，实现起来也比较容易（要不怎么说是最简单的现行分类器呢）。但是问题在于，这个模型不够光滑。第一，假设$t_0=10$，现在有一个样本进来，最后计算出来的值为10.01，你说这个样本分类应该是为1还是0呢？好像都不太靠谱的样子。第二，这个函数在$t_0$ 这点有个阶跃,有从0到1的突变，导致这点不连续，在数学上处理起来也不方便。

　　啰啰嗦嗦写了这么多了，终于轮到logistic函数出场了。对比前面的感知器或者阶跃函数，他有什么优点呢？

　　通过logistic函数的图像，我们很容易总结出他的以下优点：
　　1.他的输入范围是$-\infty \to+\infty$ ，而之于刚好为（0，1），正好满足概率分布为（0，1）的要求。我们用概率去描述分类器，自然比单纯的某个阈值要方便很多；
　　2.他是一个单调上升的函数，具有良好的连续性，不存在不连续点。

　　写到这里，小伙伴们应该都明白为什么要使用logistic函数了吧。
　　敬请期待logistic系列后续文章。