绪论
- 古埃及人的绳索
古埃及人以其复杂而浩大的建筑工程而闻名于世，在长期规划与实施此类工程的过程中，他们逐渐归纳并掌握了基本的几何度量和测绘方法。考古研究发现，公元前2000年的古埃及人已经知道如何解决如下实际工程问题：
> 通过直线l上给定的点A，作该直线的垂线。
他们所采用的方法如下：
perprndicular(l, A)
输入：直线l及其上一点A
输出：经过A且垂直于l的直线
1.取12段等长的绳索，依次将首位联结成环 //联结处称作“结”，按顺时针方向编号：0，1，...，11
2.奴隶A看管0号结，将其固定于点A处
3.奴隶B牵动4号结，将绳索沿直线l方向尽可能地拉直
4.奴隶C牵动9号结，将绳索尽可能地拉直
5.经过0号和9号结，绘制一条直线
我和我的小伙伴们都惊呆了
- 欧几里得的尺规
欧几里得几何是现代公理系统的鼻祖，比如经典的线段三等分过程：
tripartition(AB)
输入：线段AB
输出：将AB三等分的两个点C和D
1.从A发出一条与AB不重合的射线ρ
2.任取ρ上三点C`、D`和B`,使|AC`| = |C`D`| = |D`B`|
3.连接B`B
4.过D`做B`B的平行线，交AB与D
5.过C`做B`B的平行线，交AB与C
- 冒泡排序
在排序过程中，所有元素朝各自最终位置亦步亦趋的移动过程，犹如气泡在水中的上下沉浮，冒泡排序(bubblesort)算法也因此得名。
//1.1 整数数组的冒泡排序
void bubblesortA (int A[], int n) { //冒泡排序算法(版本1A)：0 <= n
bool sorted = false; //整体排序标志，首先假定尚未排序
while (!sorted) { //在尚未确认已全局排序之前，逐趟进行扫描交换
sorted = true; //假定已经排序
for (int i = 0; i < n; i++) { //自左向右逐对检查当前范围A[0, n)内的各相邻元素
if (A[i - 1] > A[i]) { //一旦A[i- 1]与A[i]逆序，则
swap (A[i - 1], A[i]); // 交换之
sorted = false; //因整体排序不能保证，需要清除排序标志
}
}
n--; //至此末元素必然就位，故可以缩短待排序序列的有效长度
}
} //借助bool型标志位sorted，可及时提前退出，而不致总是蛮力地做n- 1趟扫描交换
算法
以上三例都可以称作算法。
算法是指基于特定的计算模型,旨在解决某一信息处理问题而设计的一个指令序列。
实际上，算法还应必须具备以下要素：
算法要素
- 输入与输出
- 待计算问题的任一实例，都需要以某种方式交给对应的算法，对所求问题特定实例的这种描述统称为输入 (input)
- 经计算和处理之后得到的信息，即针对输入问题实例的答案，称作输出 (output)
- 基本操作、确定性与可行性
- 基本操作是指，在整个求解过程中可以明白无误地描述为一系列如算术运算、比较、分支、函数调用与返回等可以兑现的方法
- 确定性与可行性是指，算法应可描述为由若干语义明确的基本操作组成的指令序列，且每一基本操作在对应的计算模型中均可兑现
- 有穷性与正确性
- 任意算法都应在执行有限次基本操作之后终止并给出输出，此即所谓算法的有穷性
- 算法不仅应该迟早会终止，而且所给的输出还应该能够符合有问题本身在事先确定的条件，此即所谓算法的正确性
- 退化与鲁棒性
- 除一般情况外，使用的算法还应能处理各种极端的输入实例。以排序问题为例，极端情况下待排序序列的长度可能不是正数，或者长度超过系统支持的最大值，或者序列中元素全体相等，以上种种情况都属于退化 (degeneracy) 情况
- 鲁棒性就是要求能够尽可能充分地应对此类情况
- 重用性
- 从实用角度评判不同算法及其不同实现方式时，可采用的另一标准是：算法的总体框架能否便捷地推广至其他场合。仍以排序算法为例，无论是对与float、char或其他类型，只要元素之间可以比较大小，算法的整体框架依然可以沿用。算法模式可推广并适用于不同类型基本元素的这种特性，即是重用性的一种典型形式。
由上可知,无论是算法的初始输入、中间结果还是最终输出，在计算机中都可以以数据的形式表示。对于数据的存储、组织、转移及变换等操作，不同计算模型和平台环境所支持的具体形式不尽相同，其执行效率将直接影响和决定算法的整体效率。数据结构这一学科正是以“数据”这一信息表现形式为研究对象，旨在建立支持高效算法的数据信息处理策略、技巧和方法。要做到根据实际应用需求自如地设计、实现和选用适当的数据结构，必须首先对算法设计的技巧以及相应的数据结构的特性了然于心，这也是学习数据结构的难点。
复杂度度量
算法的计算成本涵盖诸多方面，为确定计算成本的度量标准，我们不妨先从计算速度这一主要因素入手。
时间复杂度
虽设输入规模的扩大，算法的执行时间将如何增长？执行时间的这一变化趋势可表示为输入规模的一个函数，称作该算法的时间复杂度 (time complexity) 具体地，特定算法处理规模为n的问题所需的时间可记作T(n)。
严格来说，从保守估计的角度出发，在规模为n的所有输入中，选择执行时间最长的作为T(n)，并以T(n)度量该算法的时间复杂度。
- 渐进分析
至此，对于同一问题的两个算法A和B，通过比较其时间复杂度即可评价两者对于同一输入规模n的计算效率高低，然而，藉此还不足以就其性能优劣做出总体性的评判，比如对于某些问题，一些算法更适用于小规模的输入，而另一些则相反。
幸运的是，在评价算法运行效率时，我们往往可以忽略其处理小规模问题时的能力差异，原因是小规模问题所需的处理时间本来就相对更少，故此时不同的算法实际的效率差异并不明显；而在处理大规模的问题时，效率的些许差异都将对实际执行效果产生巨大的影响。这种着眼长远、更为注重时间复杂度的总体变化趋势和增长速度的策略和方法，就是渐进分析 (asymptotic analysis) 。
- 大O记号
出于保守的估计，我们关注T(n)的渐进上界。为此可引入“大O记号” (big-O notation) 。具体地，若存在正的常数c和函数f(n)，使得对任何n >> 2都有
T(n) \leq c \cdot f(n)
则可认为在n足够大之后，f(n)给出了T(n)增长速度的一个渐进上界。此时，记为
T(n) = O(f(n))
在大O记号的意义下，函数各项整的常系数可以忽略，多项式中的低次项均可忽略。大O记号体现了对函数总体渐进增长趋势的关注和刻画，例如冒泡排序算法，在每一轮内循环中，需要扫描和比较n - 1对元素，至多需要交换n - 1对元素。元素的比较和交换都属于基本操作，故每一轮内循环至多需要执行2(n - 1)次基本操作，外循环至多执行n - 1轮，因此，总共需要执行的基本操作不会超过2(n - 1)²次。若以此来度量该算法的时间复杂度，则有
T(n) = O(2(n - 1)^2)
根据大O记号的意义，可进一步化简和整理为：
T(n) = O(2n^2 - 4n + 2) = O(2n^2) = O(n^2)
以大O记号形式表示的时间复杂度，实质上是对算法执行时间的一种保守估计，称作最坏实例或最坏情况，比较而言，“最坏情况复杂度”是人们最为关注且使用最多的，在一切特殊的场合甚至成为唯一的指标。
描述T(n)渐进下界的大Ω记号、描述T(n)确界的大Θ记号这里不做介绍。
抽象数据类型
各种数据结构都可以看作是由若干数据项组成的集合，同时对数据项定义一组标准的操作。现代数据结构普遍遵从“信息隐藏”的理念，通过统一的接口和内部封装，分层次从整体上加以设计、实现和使用。
所谓封装，就是将数据项与相关的操作结合为一个整体，并将其从外部的可见性划分为若干级别，从而将数据结构的外部特性与其内部实现相分离，提供一致且标准的对外接口，隐藏内部实现细节。于是，数据集合及其对应的操作可超脱于具体的程序设计语言、具体的实现方式，即构成所谓的抽象数据类型 (abstract data type, ADT) 。抽象数据类型的理论催生了现代面向对象的程序设计语言，而支持封装也是此类语言的基本特性。