64. 最小路径和(minimum-path-sum)

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64. 最小路径和(minimum-path-sum)

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得  
路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

• 分析

    经典的简单的学习动态规划的题目，因为是求路径和且只能向右和向下 ，  
  所以第一行和第一列上的每个位置的最小路径和是确定的；sum(i,j)上的  
  最小路径和，则是min{sum(i-1,j),sum(i,j-1)}+grid(i,j)。  
  由此可得递推公式：
  

$f(i,j)=\left\{ \begin{aligned} & \min\{f(i-1,j),f(i,j)\} & & i>0,j>0 \\ &\sum_{k=0}^{k=j}{grid(0,j)} & & i=0 \\ & \sum_{k=0}^{k=i}{grid(i,0)} & & j=0 \end{aligned} \right.$

• code

  package main
  import "fmt"
  func minPathSum(grid [][]int) int {
  	if len(grid)==0{
  		return 0
  	}
  	//初始化第一行
  	for i:=1;i<len(grid[0]);i++ {
  		grid[0][i]+=grid[0][i-1]
  	}
  	//初始化第一列
  	for i:=1;i<len(grid);i++{
  		grid[i][0]+=grid[i-1][0]
  	}
  	for i:=1;i<len(grid);i++{
  		for j:=1;j<len(grid[0]);j++{
  			if grid[i-1][j]<grid[i][j-1]{
  				grid[i][j]+=grid[i-1][j]
  			}else{
  				grid[i][j]+=grid[i][j-1]
  			}
  		}
  	}
  	return grid[len(grid)-1][len(grid[0])-1]
  }
  func main(){
  	fmt.Println(minPathSum([][]int{{1,3,1},{1,5,1},{4,2,1}}))
  	fmt.Println(minPathSum([][]int{}))
  }