BSGS算法初探

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前言

$BSGS$算法，全称 $Baby\ Step\ Giant\ Step$，即大小步算法。某些奆佬也称其为拔（Ba）山（Shan）盖（Gai）世（Shi）算法。

它的主要作用是求解形式如 $x^t\equiv y(mod\ MOD)$的式子中 $t$的值。

而且，它是一个简单易懂的算法（毕竟连我这样的数学渣渣都能理解）。

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一个简单的性质

首先，我们需要知道一个简单的性质。

由费马小定理可得， $x^{MOD-1}\equiv1(mod\ MOD)$。

$Link$

费马小定理详见博客筛素数方法（二）—— 费马小定理及MR素数判断

因此，当 $t\ge MOD-1$时，会出现一个循环节。

于是我们就能保证答案 $t$如果存在，则必然 $<MOD-1$。

这是一个简单而又重要的性质。

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$BSGS$算法的主要思想

$BSGS$算法的主要思想就是两个字：分块（提到分块就要 $\%$一波分块奆佬 $hl666$）。

根据分块思想，我们设一个变量 $Size=\sqrt{MOD}$（注意，此处要用 $ceil$函数向上取整，这样才能保证 $Size*Size\ge MOD$，不然可能会遗漏答案）。

不难发现，此时的 $t$可以表示为 $i*Size-j$（ $i,j$均为非负整数且 $j<Size$）。

那么原式就被转化成了 $x^{i*Size-j}\equiv y(mod\ MOD)$。

移项得 $x^{i*Size}\equiv x^j*y(mod\ MOD)$。

然后怎么处理呢？

我们可以对 $x^j*y$的值进行一波预处理，用一个 $map$存储下来。

然后枚举 $i$，判断 $x^{i*Size}$的值是否存在即可。

当找到一个合法的 $i$后，最终的答案就是 $i*Size-j$。

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时间复杂度分析

预处理的时间复杂度显然是 $O(j)$的，枚举 $i$的时间复杂度显然是 $O(i)$的。

又由于 $i$和 $j$都是 $O(\sqrt N)$大小的，所以总复杂度也是 $O(\sqrt N)$级别的，是一个比较优秀的算法。

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代码

map<int,int> s;//定义一个map
inline int BSGS(int x,int y,int MOD)//对于一个式子x^t=y(mod MOD)，求出t的值
{
	register int i,t=1,base,Size=ceil(sqrt(MOD));//注意此处要用ceil函数向上取整
	for(i=0;i<=Size;++i) s[1LL*t*y%MOD]=i,base=t,t=1LL*t*x%MOD;//预处理将(x^j)*y的值全部用map存下对应的j，并用base存储下x^Size
	for(t=base,i=1;i<=Size;++i,t=1LL*t*base%MOD)//枚举i，每次将t乘上x^Size 
		if(s[t]) return i*Size-s[t];//找到一个合法的i，则答案就是i*Size-j
	return 0;//无解返回0
}