【SGU 261】BSGS算法详解

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BSGS(baby-step gaint-step)，大步小步算法，该算法可以在 $O(\sqrt p)$ 时间复杂度内求解

$a^x \equiv b \ mod \ p$

$gcd(a, p) = 1, 0 \leq x < p$

算法描述

我们令 $x = A\left \lceil \sqrt p\ \right \rceil - B$ ， $0 \leq A, B <= \left \lceil \sqrt p\ \right \rceil$ ，这样我们可以保证 $0 \leq x < p$

$a^{A\left \lceil \sqrt p \ \right \rceil - B} \equiv b \ mod \ p$

$\Leftrightarrow a^{A \left \lceil \sqrt p\ \right \rceil} \equiv b a^B \ mod\ p$

由于我们知道 $a,b$ ，我们可以先枚举B算出右边 $ba^B\ mod \ p$ ，存在一个hash表里面，然后再枚举A计算左边的 $a^{A\left \lceil \sqrt p\ \right \rceil}$ 的值，然后去判断hash表里面是否有这个值，如果有，我们就得到了 $x = A\left \lceil \sqrt p\ \right \rceil - B$ 。

原根

$gcd(g, m) = 1, g^{\varphi(m)} \equiv 1\ mod \ m$ ， $g$ 为 $m$ 的一个原根。

所有原根

若 $g$ 为 $m$ 的一个原根，则集合 $S = \left\{ g^s | 1 \leq s \leq \varphi(m)\right, gcd(s, m) = 1\}$ 包含所有原根，由此如果 $m$ 有原根，则 $m$ 一共有 $\varphi(\varphi(m))$ 个原根关于模 $m$ 两两互不同余

一个原根

$gcd(g, m) = 1$ , $p_1,p_2,p_3,...,p_k$ 为 $\varphi(m)$ 的不同素因子，当且仅当对于任意的 $1 \leq i \leq k, g^{\frac{\varphi(m)}{p_i}} \not\equiv 1 \ mod \ m$ 成立， $g$ 为 $m$ 的一个原根

了解了原根以后，我们就可以在仅当 $p$ 是素数时，就可以求解方程 $x^a \equiv b \ mod \ p$

$x^a \equiv b \ mod \ p$ ，由于 $p$ 是一个素数，则 $p$ 一定存在一个原根 $g$ ，因此对于模 $p$ 下的任意 $x(0 \leq x < p)$ ，存在唯一一个 $i(0 \leq i < p-1)$ 满足 $x = g^i$ 。

于是我们令 $x = g^c$ ，所以 $(g^c)^a \equiv b \ mod \ p \Leftrightarrow (g^a)^c \equiv b\ mod \ p$ ，于是这就转换成了一个BSGS模型，可以算出 $c$ ，

$x_0 \equiv g^c\ mod \ p$

求出一个解以后，如何得到所有解

$x_0 \equiv g^c \ mod \ n, g^{\varphi(n)} \equiv 1\ mod \ n$

$\forall t \in z, x^k \equiv g^{ck} \equiv g^{ck + t\varphi(n)} \ mod \ n$

$\forall t \in z, k|t\cdot\varphi(n), x \equiv g^{c+ \frac{t\cdot\varphi(n)}{k}} \ mod \ n$

既然， $k|t\cdot\varphi(n)$ ，那么 $\frac{k}{gcd(k, \varphi(n))} | t$ ，我们令 $t = i * \frac{k}{gcd(k, \varphi(n))}$

于是， $\forall \ i \in z, x \equiv g^{c + \frac{\varphi(n)}{gcd(k, \varphi(n))}*i}\ mod \ n$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b)  // 求最大公约数
{
	if(b == 0) return a;
	while(b) {
		ll t = a;
		a = b;
		b = t % b;
	}
	return a;
}
ll power(ll a, ll b, ll p) // 快速幂
{
	ll ans = 1;
	while(b) {
 		if(b & 1) ans = (ans * a) % p;
		a = (a * a) % p;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll generator(ll p)  // 求模p的原根
{
	vector<ll> fact;
	ll phi = p - 1, n = phi;  // phi(p) = p - 1, p 为素数
	for(ll i = 2; i * i <= n; i++) {  // 素因子分解
		if(n % i == 0) {
			fact.push_back(i);
			while(n % i == 0) n /= i;
		}
	}
	if(n > 1) fact.push_back(n);
	for(ll res = 2; res <= p; res++) {  // 枚举每一可能的值
		bool ok = true;
		for(vector<ll>::iterator it = fact.begin(); it != fact.end(); it++) {
			if(power(res, phi / (*it), p) == 1) {  // 对于每一个素因子p_i, a^{phi(p)/p_i} != 1 mod p 才为原根
				ok = false;
				break;
			}
		} 
		if(ok) return res;
	}
	return -1;
}
void BSGS(ll k, ll a, ll n)  // x^k = a mod n
{
	if(a == 0) {  
		printf("1\n0\n");
		return ;
	}
	ll g = generator(n); // 原根
	ll sq = (ll)sqrt(n + .0) + 1;  // sqrt(n) 向上取整
	vector<pair<ll, int> > dec(sq); 
	// 枚举 A
	for(ll i = 1; i <= sq; i++) dec[i-1] = make_pair(power(g, i * sq * k % (n - 1), n), i);
	sort(dec.begin(), dec.end());
	ll res = -1;
	// 枚举 B
	for(int i = 1; i <= sq; i++) {
		ll my = power(g, i * k % (n - 1), n) * a % n;
		vector<pair<ll, int> >::iterator it = lower_bound(dec.begin(), dec.end(), make_pair(my, 0));
		if(it != dec.end() && it->first == my) {
			res = it->second * sq - i;  // A sqrt(n) - B
			break;
		}
	}
	if(res == -1) {
		printf("0\n");
		return ;
	}
	// 得到所有的答案
	ll delta = (n - 1) / gcd(n - 1, k);  
	vector<ll> ans;
	for(ll cur = res % delta; cur < n-1; cur += delta) ans.push_back(power(g, cur, n));
	sort(ans.begin(), ans.end());
	printf("%d\n", ans.size());
	for(vector<ll>::iterator it = ans.begin(); it != ans.end(); it++) cout << *it << endl;
	return ;
}
int main()
{
	ll p, k, a;
	while(scanf("%lld %lld %lld", &p, &k, &a) == 3) {
		BSGS(k, a, p);
	}
	return 0;
}

【SGU 261】BSGS算法详解

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