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Kruskal重构树就是在做kruskal是把边权改成点权，一个n个点的图可以生成2*n-1个点的kruskal重构树。
一篇很棒的博客https://blog.csdn.net/hwzzyr/article/details/81190442
构造
维护一个并查集。把图上的边按边权值递增排序，每次取出最小的边，用并查集判断其两端的点是否已相连。如果是，那么直接略过这条边；否则，建一个新点r，点权为该边边权。记两端点的祖先节点为fx,fy，r分别fx和fy连一条边，并且把r记为父亲，同时直线两端的点的祖先也被更新为r。
最终会新建n-1个点来连接这些原有的点。
性质
1、Kruskal重构树是一个二叉堆，即每一个儿子节点的权值都小于等于自己的权值；
2、连接两点路径上的最大边权的最小值是这两个点在kruskal重构树上的lca的点权；（一般用的是这条性质）
3、原图中的点处在叶子节点的位置。
代码
int fa[MAXN*2];
int id,w[MAXN*2];
int findfa(int x)
{
if(fa[x]==x) return x;
return fa[x]=findfa(fa[x]);
}
bool cmp(E e1,E e2){return e1.c<e2.c;}
void ex_kruskal()//最终会生成2*n-1个点
{
id=n;//id从n+1开始
for(int i=1;i<2*n;i++) fa[i]=i;
sort(a+1,a+m+1,cmp);//按边权排序
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int fx=findfa(a[i].x),fy=findfa(a[i].y);
if(fx!=fy)//不相连
{
w[++id]=a[i].c;//获得点权
fa[fx]=id;fa[fy]=id;
ins(id,fx);ins(id,fy);//建边
if(id==2*n-1) return ;
}
}
}例题1
（bzoj3732 Network）给你N个点的无向图 (1 <= N <= 15,000)，记为：1…N。
图中有M条边 (1 <= M <= 30,000) ，第j条边的长度为： d_j ( 1 < = d_j < = 1,000,000,000).
现在有 K个询问 (1 < = K < = 20,000)。
每个询问的格式是：A B，表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？
题解
这题用来练模版...
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=15010,MAXM=30010;
int n,m,Q;
struct E{int x,y,c,next;}a[MAXM],e[MAXN*2];int len=1,last[MAXN*2];//debug 分清a,e
bool cmp(E e1,E e2){return e1.c<e2.c;}
void ins(int x,int y)
{
e[++len]=(E){x,y,0,last[x]};last[x]=len;
}
int fa[MAXN*2];
int id,w[MAXN*2];
int findfa(int x)
{
if(fa[x]==x) return x;
return fa[x]=findfa(fa[x]);
}
void ex_kruskal()//最终会生成2*n-1个点
{
id=n;
for(int i=1;i<2*n;i++) fa[i]=i;//debug 把所有会用到的点(1~2*n-1)全部初始化
sort(a+1,a+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int fx=findfa(a[i].x),fy=findfa(a[i].y);
if(fx!=fy)
{
w[++id]=a[i].c;
fa[fx]=id;fa[fy]=id;//debug 错误更新fa[fx]=fy;//debug 千万不要忘记辅助数组的更新
ins(id,fx);ins(id,fy);
if(id==2*n-1) return ;
}
}
}
int head,tail,q[MAXN*2];
int dep[MAXN*2],f[MAXN*2][20];
void bfs()
{
dep[id]=1;
head=0,tail=1;q[0]=id;//debug 从last_id开始
while(head<tail)
{
int x=q[head++];
for(int k=last[x];k;k=e[k].next)
{
int y=e[k].y;
dep[y]=dep[x]+1;
f[y][0]=x;for(int i=1;i<=18;i++) f[y][i]=f[f[y][i-1]][i-1];
q[tail++]=y;
}
}
}
int lca(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=18;i>=0;i--)
if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
if(x==y) return x;
for(int i=18;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][0];
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].c);
ex_kruskal();
bfs();
while(Q--)
{
int x,y,p;
scanf("%d%d",&x,&y);p=lca(x,y);
printf("%d\n",w[p]);
}
return 0;
}例题2
NOIP2013 货车运输
题解
此题很思维，但是如果知道kruskal之后就很容易了，题解看这。
例题3
（bzoj3551 Peaks）（洛谷4197 Peaks）在Bytemountains有N座山峰，每座山峰有他的高度h_i。有些山峰之间有双向道路相连，共M条路径，每条路径有一个困难值，这个值越大表示越难走，现在有Q组询问，每组询问询问从点v开始只经过困难值小于等于x的路径所能到达的山峰中第k高的山峰，如果无解输出-1。
题解
kruskal重构树+主席树
先建出kruskal重构树，给定起点v和最大的困难度x之后，相当于就限制在了一棵子树里。这棵子树的根节点可以用倍增来求。
接下来的问题相当于是在一棵字数中求第k大的点。那么用主席树可以解决。
为了转化成主席树可以接受的线性结构，我们需要对树跑一遍dfs，找出每个节点的dfs序。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1e5+10,MAXM=5e5+10;
int n,m,Q;
int w[MAXN],t[MAXN];//w记录实际高度，t用于离散化
struct E{int x,y,c,next;}b[MAXM],e[MAXN*2];int len=0,last[MAXN*2];
bool cmp(E e1,E e2){return e1.c<e2.c;}
void ins(int x,int y){e[++len]=(E){x,y,0,last[x]};last[x]=len;}
int fa[MAXN*2];
int id,val[MAXN*2];
int findfa(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=findfa(fa[x]);}
void kruskal()
{
id=n;
sort(b+1,b+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1,tt=0;i<=m;i++)
{
int fx=findfa(b[i].x),fy=findfa(b[i].y);
if(fx==fy) continue;
val[++id]=b[i].c;
ins(id,fx);ins(id,fy);
fa[fx]=fa[fy]=fa[id]=id;
if(++tt==n-1) break;
}
}
int T=0,a[MAXN*2],L[MAXN*2],R[MAXN*2];//a[dfs序]=原节点编号
int f[MAXN*2][20];
void dfs(int x)
{
L[x]=++T;a[T]=x;
for(int k=last[x];k;k=e[k].next)
{
int y=e[k].y;
f[y][0]=x;for(int i=1;i<=19;i++) f[y][i]=f[f[y][i-1]][i-1];
dfs(y);//debug
}
R[x]=T;
}
int tot=0,rt[MAXN*30];
int sum[MAXN*30],ls[MAXN*30],rs[MAXN*30];//sum子树大小，ls,rs左右孩子
void insert(int &now,int pre,int l,int r,int x)
{
now=++tot;sum[now]=sum[pre]+1;
ls[now]=ls[pre];rs[now]=rs[pre];
if(l>=r) return ;
int mid=l+r>>1;
if(x<=mid) insert(ls[now],ls[pre],l,mid,x);
else insert(rs[now],rs[pre],mid+1,r,x);
}
int query(int now,int pre,int l,int r,int x)
{
if(l>=r) return l;
int mid=l+r>>1,tmp=sum[ls[now]]-sum[ls[pre]];
if(x<=tmp) return query(ls[now],ls[pre],l,mid,x);
else return query(rs[now],rs[pre],mid+1,r,x-tmp);
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]),t[i]=w[i];
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&b[i].x,&b[i].y,&b[i].c);
sort(t+1,t+n+1);
int ct=unique(t+1,t+n+1)-(t+1);
for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=lower_bound(t+1,t+ct+1,w[i])-t;
kruskal();val[0]=INF;//debug 防止后面跑出树外
dfs(id);
for(int i=1;i<=id;i++)//按dfs序插入
if(a[i]<=n) insert(rt[i],rt[i-1],1,ct,w[a[i]]);
else rt[i]=rt[i-1];
while(Q--)
{
int x,y,k,ans;scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
for(int i=19;i>=0;i--) if(val[f[x][i]]<=y) x=f[x][i];
int res=sum[rt[R[x]]]-sum[rt[L[x]-1]];
if(res<k) ans=-1;
else ans=t[query(rt[R[x]],rt[L[x]-1],1,ct,res-k+1)];//第k大相当于第res-k+1小
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}例题4
题解
dijkstra最短路+kruskal重构树
跑一遍dijkstra可以找到所有点到1的最短距离d[i]。因为车是随便开的，所以在可以随意移动的范围中找到一个离x最近的点再走过去就OK了。
kruskal重构树可以找到可以随意移动的子树，同时对于那些新建的节点的d定义为该子树中一节点到1的最小距离，所以d[i]=min(d[fx],d[fy])。
在这样预处理后，求答案就很简单了，就是两点lca的d值。
代码
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int MAXN=200010,MAXM=400010;
inline int read()
{
int re=0;char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
while(ch>='0' && ch<='9') re=re*10+(ch^48),ch=getchar();
return re;
}
inline void write(int x)
{
if(x>9) write(x/10);
putchar(x%10|48);
}
int n,m;
struct E{int x,y,c,next;}e[MAXM*2],bi[MAXM],Ne[MAXN*2];int len,last[MAXN];int Nlen,Nlast[MAXN*2];
bool cmp(E e1,E e2){return e1.c>e2.c;}
void ins(int x,int y,int c){e[++len]=(E){x,y,c,last[x]};last[x]=len;}
void Nins(int x,int y){Ne[++Nlen]=(E){x,y,0,Nlast[x]};Nlast[x]=Nlen;}
int d[MAXN*2];bool vis[MAXN];
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > pq;
void dijkstra()
{
memset(d,0x3f,n+1<<2);d[1]=0;
memset(vis,false,n+1);
pq.push(pii(0,1));
while(!pq.empty())
{
int x=pq.top().second;pq.pop();
if(vis[x]) continue;vis[x]=true;
for(int k=last[x];k;k=e[k].next)
{
int y=e[k].y;
if(d[y]>d[x]+e[k].c)
{
d[y]=d[x]+e[k].c;
pq.push(pii(d[y],y));
}
}
}
}
int fa[MAXN*2];
int id,val[MAXN*2];
int findfa(int x){return x==fa[x]?fa[x]:fa[x]=findfa(fa[x]);}
void kruskal()
{
id=n;Nlen=0;memset(Nlast,0,2*n<<2);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
sort(bi+1,bi+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int fx=findfa(bi[i].x),fy=findfa(bi[i].y);
if(fx==fy) continue;
fa[fx]=fa[fy]=fa[++id]=id;
Nins(id,fx);Nins(id,fy);
val[id]=bi[i].c;d[id]=min(d[fx],d[fy]);
if(id==2*n-1) return ;
}
}
int f[MAXN*2][21];
int head,tail,q[MAXN*2];
void bfs()
{
head=0,tail=1;q[0]=id;
for(int i=0;i<=19;i++) f[id][i]=id;
while(head<tail)
{
int x=q[head++];
for(int k=Nlast[x];k;k=Ne[k].next)
{
int y=Ne[k].y;
f[y][0]=x;for(int i=1;i<=19;i++) f[y][i]=f[f[y][i-1]][i-1];
q[tail++]=y;
}
}
}
int query(int x,int p)
{
for(int i=19;i>=0;i--) if(val[f[x][i]]>p) x=f[x][i];//倍增找到一个x满足val[x]>=p且val[f[x][0]]<p
return d[x];
}
int main()
{
int Case=read();
while(Case--)
{
len=1;memset(last,0,n+1<<2);
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=read(),v=read(),l=read(),a=read();
ins(u,v,l);ins(v,u,l);
bi[i]=(E){u,v,a};
}
dijkstra();
kruskal();
bfs();
int Q=read(),K=read(),S=read(),lastans=0;
while(Q--)
{
int v=(read()+K*lastans-1)%n+1,p=(read()+K*lastans)%(S+1);
write(lastans=query(v,p));puts("");
}
}
return 0;
}