Kruskal重构树—学习笔记

Kruskal重构树—性质

1.是一个小/大根堆(由建树时边权的排序方式决定)
2.LCA(u,v)的权值是原图 u到v路径上最大/小边权的最小/大值(由建树时边权的排序方式决定)

Kruskal重构树—建树

模仿kuskal的过程
先将边权排序 (排序方式决定何种性质接下来说明)

依次遍历每条边
若改变连接的两个节点u和v 不在一个并查集内
就新建一个结点node
该点点权为这条边的边权

找到u，v所在并查集的根 $u_i,v_i$
连边 $(node,u_i)(node,v_i)$
并更新并查集 $fa[u_i]=node,fa[v_i]=node$

遍历完原图所有边后
我们建出来的必定是一棵树
也就是我们要的kruskal重构树

注意这棵树是以最后新建的结点为根的有根树
若原图不连通，即建出的是一个森林
那么就遍历每个节点，找到其并查集的根作为其所在树的根

void kruskal()
{
    for(int i=1;i<=n;++i)ff[i]=i;
    sort(rem+1,rem+1+m,cmp);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int fu=find(rem[i].u),fv=find(rem[i].v);
        if(fu!=fv)
        {
            val[++cnt]=rem[i].dis;
            ff[cnt]=ff[fu]=ff[fv]=cnt;
            add(fu,cnt); add(cnt,fu);
            add(fv,cnt); add(cnt,fv);
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;++i)
    if(!vis[i])
    {
        int f=find(i);
        dfs1(f,0); dfs2(f,f);
    }
}

Kruskal重构树—应用

若我们开始时将边权升序排序
则LCA(u,v)的权值代表原图 u到v路径上最大边权的最小值

由于边权越大的结点深度越小
所以在这棵树上u到v的路径显然就是原图上u到v尽量沿着边权小的边走
而LCA(u,v)显然就是u到v路径上深度最小的结点

反之若我们一开始将边权降序排序
则LCA(u,v)的权值代表原图 u到v路径上最小边权的最大值
证明类似

这是对Kruskal重构树性质最简单的应用
可以试着用这题练练手
BZOJ3732 Network【Kruskal重构树】题解

若我们开始时将边权升序排序
且kruskal重构树是一个大根堆
因为边权大的边总是后加入，所以这点不难证明

反之若我们一开始将边权降序排序
且kruskal重构树是一个小根堆

这个性质最经典的应用就是
求从u出发只经过边权不超过x的边能到达的结点

我们只要在求出边权升序排序的kuaskal重构树
找到树上深度最小的，点权不超过x的结点(一般用树上倍增)
那么它子树内的所有节点就是上述所求
这里由其是大根堆的性质不难证明

一道挺毒瘤的练手题
BZOJ3551 [ONTAK2010]Peaks加强版【Kruskal重构树+主席树+树上倍增】题解

以及这次NOI2018的毒瘤
[NOI2018 D1T1]归程【Kruskal重构树】题解