牛客网练习赛25A—因数个数和（整除分块）

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/158/A
来源：牛客网

题目描述

q次询问，每次给一个x，问1到x的因数个数的和。

输入描述:

第一行一个正整数q ；
接下来q行，每行一个正整数 x

输出描述:

共q行，每行一个正整数表示答案

题意：

给你一个n，求1的因子数+2的因子数+3的因子数+......+n的因子数。

题解：

转化成求倍数和，等价于1-n中，1的倍数个数+2的倍数个数+3的倍数个数+......+n的倍数个数。

即： $\sum_{i=1}^{n}{\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor}$ 的值。暴力铁定超时咯。

1）整除分块

观察n为50时的暴力结果：

不难发现相等的值都是连续的，我们就可以只算一次这个值，再求出这个值的个数，就可以实现加速咯。

观察5为什么有两个？i=9时，50 / 9 = 5 余 5；余数里面还有一个5，那么50 / 10 也可以商5咯。每一块都是这个原理。

时间复杂度接近O( $\sqrt{n}$ )。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    int q,n;
    cin>>q;
    while(q--)
    {
        cin>>n;
        long long ans = 0;
        for(int i=1; i<=n;)
        {
            int val = n/i;           //当前块的值
            int num = (n%i)/val+1;   //该值的数量
            ans+=num*val;
            i += num;                //加速移到下一块
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

2）来自大佬的数学解法：Orz Orz Orz

我们只需要求根号n之前的因子。当1到 x 中的某个数 a 有因子 i 时，也会有 a/i这个因子。因此每次计算 i 的贡献时也计算a/i的贡献，因此我们求出每一个因子（小于根号n）的贡献的和，然后乘以2。

不过这其中还有重复计算的部分，假设 $t=\sqrt{n}$ 那么 t 个数中的每一个数都与其他每一个数相乘过（因为小于根号 x 的因子相乘一定小于 x ）那么就有 (t-1) * t 个重复的计算。另外，对于因子 i ，若 a=i*i 只能算a中有一个因子，所以自乘的因子也该减去。一共有 t 个自乘的因子。所以一共有 t*t 个重复计算的因子。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
    int q,n;
    cin>>q;
    while(q--)
    {
        cin>>n;
        int m = sqrt(n);
        long long ans = 0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            ans+=n/i;
        }
        cout<<ans*2-m*m<<endl;
    }
    return 0;
}