2018.10.05 TOPOI提高组模拟赛解题报告

得分： $100+5+100=205$ （真的是出乎意料）

$T1$ ：抵制克苏恩（点此看题面）

应该还是一个比较简单的 $DP$ 吧（我是用记忆化搜索实现的）。

可以用 $f_{n,A,B,C}$ 来表示还有 $n$ 个回合，三种血量奴隶主个数分别为 $A,B,C$ 时所造成的期望伤害。

比较显然，应该有四种情况：

第一种情况：对一血奴隶主造成伤害。这样就杀死了一个一血奴隶主，且不会增加新的奴隶主，因此可以将 $f_{n,A,B,C}$ 加上 $\frac A{A+B+C+1}f_{n-1,A-1,B,C}$ 。
第二种情况：对二血奴隶主造成伤害。此时要分情况讨论：
- $A+B+C<7$ ：这样相当于将一血奴隶主个数加 $1$ ，二血奴隶主个数减 $1$ ，并增加一个新的三血奴隶主，因此将 $f_{n,A,B,C}$ 加上 $\frac B{A+B+C+1}f_{n-1,A+1,B-1,C+1}$ 。
- $A+B+C=7$ ：这样相当于将一血奴隶主个数加 $1$ ，二血奴隶主个数减 $1$ ，由于奴隶主个数已满，故不增加新的奴隶主，因此将 $f_{n,A,B,C}$ 加上 $\frac B{A+B+C+1}f_{n-1,A+1,B-1,C}$ 。
第三种情况：对三血奴隶主造成伤害。此时也要分类讨论：
- $A+B+C<7$ ：这样相当于将二血奴隶主个数加 $1$ ，三血奴隶主个数不变，因此将 $f_{n,A,B,C}$ 加上 $\frac C{A+B+C+1}f_{n-1,A,B+1,C}$ 。
- $A+B+C=7$ ：这样相当于将二血奴隶主个数加 $1$ ，三血奴隶主个数减 $1$ ，因此将 $f_{n,A,B,C}$ 加上 $\frac C{A+B+C+1}f_{n-1,A,B+1,C-1}$ 。
第四种情况：对英雄造成伤害。则场上各血量奴隶主个数不变，且对英雄造成伤害加 $1$ ，因此将 $f_{n,A,B,C}$ 加上 $\frac1{A+B+C+1}(f_{n-1,A,B,C}+1)$ 。

代码实现还是比较简单的：

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) ((x<<3)+(x<<1))
#define N 50
using namespace std;
int n,A,B,C;
class FIO
{
	private:
		#define Fsize 100000
		#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
		#define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
		int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
	public:
		FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
		inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
		inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
		inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
		inline void write(int x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
		inline void write_char(char x) {pc(x);}
		inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
		inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_DFS//记忆化搜索
{
	private:
		#define eps 1e-10
		double f[N+5][10][10][10];//用f[n][A][B][C]来表示还有n个回合，三种血量奴隶主个数分别为A,B,C时所造成的期望伤害
	public:
		inline double GetAns(int n,int A,int B,int C)//记忆化搜索
		{
			if(!n||A<0||B<0||C<0) return 0;//如果剩余回合数为0或当前状态不合法，返回0
			if(f[n][A][B][C]>eps) return f[n][A][B][C];//如果已访问过当前状态，返回上次求解的答案
			if(A+B+C<7) f[n][A][B][C]=(A*GetAns(n-1,A-1,B,C)+B*GetAns(n-1,A+1,B-1,C+1)+C*GetAns(n-1,A,B+1,C)+GetAns(n-1,A,B,C)+1)/(A+B+C+1);//对于A+B+C<7的情况
			else f[n][A][B][C]=(A*GetAns(n-1,A-1,B,C)+B*GetAns(n-1,A+1,B-1,C)+C*GetAns(n-1,A,B+1,C-1)+GetAns(n-1,A,B,C)+1)/(A+B+C+1);//对于A+B+C=7的情况
			return f[n][A][B][C];//返回
		}
}DFS;
int main()
{
	freopen("cthun.in","r",stdin),freopen("cthun.out","w",stdout);
    register int i,T;F.read(T);
    while(T--) F.read(n),F.read(A),F.read(B),F.read(C),printf("%.2lf\n",DFS.GetAns(n,A,B,C));//对于每组数据输出答案
    return 0;
}

$T2$ ：大数（点此看题面）

原题： 【BZOJ4542】[HNOI2016] 大数

比赛时看到数据范围以及输入每次给出一个区间，而且可以离线做，于是瞬间想到了莫队算法。

但是，想出了莫队，却不知道怎么去做（毕竟还需要一个玄学的转化），于是只好交了暴力。

$Link$

莫队算法 详见博客莫队算法学习笔记（一）——普通莫队

考虑用 $S_{i,j}$ 表示 $S$ 的子串 $S[i...j]$ 所表示的数字模 $P$ 的余数，并用 $Front_i$ 表示 $S$ 的子串 $S[1...i]$ 所表示的数字模 $P$ 的余数。

则不难发现，如果 $P≠2$ 且 $P≠5$ （这两种情况 $P$ 较小，可以特判处理掉）， $S_{i,j}\equiv Front_j-Front_i(mod$ $P)$ 。

这样一来，要求出多少个 $S_{i,j}=0$ ，似乎就等价于求出有多少个 $Front_i=Front_j$ 。

再说得明白一点，就相当于要求出一个区间内有多少对相等的数。

于是就变成莫队裸题了。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 100000
using namespace std;
int n,Q,p_num,MOD,block_size,a[N+5],p[N+5],bl[N+5],cnt[N+5];
LL res[N+5];
string st;
struct Query
{
    int l,r,pos;
    inline bool operator < (const Query x) const
    {
        return bl[l]^bl[x.l]?bl[l]<bl[x.l]:(bl[l]&1?r<x.r:r>x.r);
    }
}q[N+5];
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Key//对于P=2或P=5的情况特判处理
{
    private:
        int tot[N+5],sum[N+5];
    public:
        inline void Solve()
        {
            register int i,l,r;
            for(i=1,n=st.length();i<=n;++i)//利用前缀和思想
            {
                sum[i]=sum[i-1],tot[i]=tot[i-1];
            	if((st[i-1]&15)%MOD==0) sum[i]+=i,++tot[i];
        	}
            for(i=1;i<=Q;++i) F.read(l),F.read(r),F.write(sum[r]-sum[l-1]-(tot[r]-tot[l-1])*(l-1)),F.write_char('\n');
        }
}S;
inline int find(int x)//求出一个元素离散化后的值
{
    register int l=1,r=p_num,mid;
    for(mid=l+r>>1;l<=r;mid=l+r>>1) p[mid]<x?l=mid+1:r=mid-1;//二分查找
    return l;
}
int main()
{
    register int i;register LL tn=1;
    F.read(MOD),F.read_string(st),F.read(Q),n=st.length();
    if(MOD==2||MOD==5) return S.Solve(),F.end(),0;//特判P=2或P=5的情况
    for(block_size=sqrt(n),i=n;i;--i) p[i]=a[i]=(tn*(st[i-1]&15)%MOD+a[i+1])%MOD,tn=ten(tn)%MOD;//计算出从S[1...i]%P的值
    for(sort(p+1,p+n+2),p_num=unique(p+1,p+n+2)-p-1,i=1;i<=n+1;++i) a[i]=find(a[i]);//离散化
    for(i=1;i<=Q;++i) F.read(q[q[i].pos=i].l),F.read(q[i].r),bl[i]=(i-1)/block_size+1;//读入询问，并分块
    int L=1,R=1;register LL ans=0;
    for(sort(q+1,q+Q+1),cnt[a[1]]=i=1;i<=Q;++i)//将询问排序
    {
    	++q[i].r;//将右边界加1
    	while(R<q[i].r) ++cnt[a[++R]],ans+=cnt[a[R]]-1;//莫队的基本操作
    	while(L>q[i].l) ++cnt[a[--L]],ans+=cnt[a[L]]-1;
    	while(R>q[i].r) ans-=cnt[a[R]]-1,--cnt[a[R--]];
    	while(L<q[i].l) ans-=cnt[a[L]]-1,--cnt[a[L++]];
    	res[q[i].pos]=ans;//存储答案
    }
    for(i=1;i<=Q;++i) F.write(res[i]),F.write_char('\n');//输出答案
    return F.end(),0;
}

$T3$ ：神奇项链（点此看题面）

原题： 【BZOJ3790】神奇项链（权限题）

据说是 $Manacher$ 算法+贪心，但是，做这题时我还不会 $Manacher$ … …

$Link$

$Manacher$ 算法 详见博客 Manacher算法学习笔记

怎么办呢？只好写 $O(n^2)$ 大暴力。

然而，数据太水，居然跑过了！？

既然是暴力，就不上代码了吧。~~更何况我懒得去打正解了。~~