【HHHOJ】NOIP模拟赛 捌 解题报告

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点此进入比赛

得分： $30+30+70=130$（弱爆了）

排名： $Rank22$

$：Rating：-31$

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$T1$：【HHHOJ260】「NOIP模拟赛 捌」Digits（点此看题面）

比赛时写数位 $DP$写挂了，最后交了个裸暴力。（后来发现写挂是因为没考虑借位的情况）

好吧，其实数位 $DP$也是可以过的，但是，好像有个更简单的方法。

$Link$

数位 $DP$ 详见博客 动态规划专题（三）——数位DP

对于每一位，我们可以直接枚举出相加与这一位上数字相等的两个数字（总共只有 $4$种情况），然后求解即可。

分类讨论这里就省略了，直接看代码吧：

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=y)>=MOD&&(x-=MOD))
#define MOD 1000000007
#define Calc1(x,y) (((i-(x)-(y))/10+1)%MOD*(tot+1)%MOD*(x)%MOD*(y)%MOD)
#define Calc2(x,y) (((i-(x)-(y))/10+1)%MOD*(tn-tot-1)%MOD*(x)%MOD*(y)%MOD)
using namespace std;
LL n;
class FIO
{
	private:
		#define Fsize 100000
		#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
		#define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
		LL f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
	public:
		FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
		inline void read(LL &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
		inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
		inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
		inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
		inline void write_char(char x) {pc(x);}
		inline void write_string(string x) {register LL i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
		inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
int main()
{
    register LL i,j,T,ans,tn,tot,lim;F.read(T);
    while(T--)
    {
    	for(F.read(n),ans=tot=0,tn=1,i=n;i;Inc(tot,tn*(i%10)),i/=10,tn=(tn<<3)+(tn<<1))
    	{
    		if(i%10<=i) for(j=1;j<=i%10;++j) Inc(ans,Calc1(j,i%10-j));//相加与这一位相等
			if(i%10-1<=i) for(j=1;j<i%10;++j) Inc(ans,Calc2(j,i%10-j-1));//相加比这一位少1，即下一位向上进位了
    		if(i%10+10<=i) for(j=i%10+1;j<=9;++j) Inc(ans,Calc1(j,i%10-j+10));//相加比这一位多10，即向上进一位
    		if(i%10+9<=i) for(j=max(i%10,1);j<=9;++j) Inc(ans,Calc2(j,i%10-j+9));//相加比这一位多9，即下一位和这一位都向上进了一位
    	}
    	F.write(ans),F.write_char('\n');//输出答案
	}
    return F.end(),0;
}

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$T2$：【HHHOJ261】「NOIP模拟赛 捌」Brew（点此看题面）

一道弱化版的原题： 【POJ1160】Post Office

这题就比较恶心了，考试时写了一个 暴力 $DP$ 交上去 $30$分。

后来得知要用 $WQS$二分 +斜率优化 $DP$。

应该不难发现，造的酿酒厂数量越多，答案肯定越优。

但是，如果我们给造一座酿酒厂加上一个代价 $Cost$，我们就可以发现此时的图像应该是一个单谷函数，因此就可以用斜率优化 $DP$来求解出此时的最优答案以及最优答案对应的造酿酒厂的个数。

此时应该就不难想到 $WQS$二分 $Cost$，求出 造酿酒厂个数恰好为 $K$ 时的最优答案。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e18
#define Inc(x,y) ((x+=y)>=MOD&&(x-=MOD))
#define N 100000
#define GetCost(l,r) (f[l]+GetSum((l)+1,r)+Cost)
#define Sum(l,r) (sum[r]-sum[(l)-1])
using namespace std;
LL n,m,Cost,a[N+5],sum[N+5],f[N+5],g[N+5];
class FIO
{
	private:
		#define Fsize 100000
		#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
		#define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
		LL f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
	public:
		FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
		inline void read(LL &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
		inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
		inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
		inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
		inline void write_char(char x) {pc(x);}
		inline void write_string(string x) {register LL i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
		inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
inline LL GetSum(LL l,LL r)
{
	if(l>r) return 0;
	register LL mid=l+r>>1,ln=mid-l+1,rn=r-mid+1;
	return (Sum(mid,r)-rn*a[mid])+(ln*a[mid]-Sum(l,mid));
}
class Class_Monotone_queue//单调队列
{
	private:
		struct key
		{
			LL S,L,R;//L和R记录区间，S记录上次的转移点
			key(LL x=0,LL y=0,LL z=0):S(x),L(y),R(z){}
		}data[N+5];
		LL H,T;
	public:
		inline void Clear() {data[H=T=1]=key(0,1,n);}//清空
		inline bool empty() {return H>T;}//判断队列是否为空
		inline key Front() {return data[H];}//返回队首
		inline key Back() {return data[T];}//返回队尾
		inline void PushBack(key x) {data[++T]=x;}//在队尾加入一个元素
		inline void PopFront() {++H;}//弹出队首
		inline void PopBack() {--T;}//弹出队尾
		inline void Push(LL x)//加入一个新的元素
		{
			register LL lst=-1,l,r,mid;
			while(!empty())//只要队列不为空
			{
				if(GetCost(data[T].S,data[T].L)>GetCost(x,data[T].L)) {lst=data[T].L,PopBack();continue;}//如果原先的斜率大于当前的斜率，就弹出队尾，并跳过当前循环
				for(mid=(l=data[T].L)+(r=data[T].R)>>1;l<=r;mid=l+r>>1) GetCost(data[T].S,mid)>GetCost(x,mid)?r=mid-1:l=mid+1;//二分求出最早的从当前状态转移要优于原先状态转移的时刻
				if(l<=data[T].R) data[T].R=(lst=l)-1;//更新
				break;//退出循环
			}
			if(~lst) PushBack(key(x,lst,n));//如果有值，将其加入队列
			if(!empty()&&++data[H].L>data[H].R) PopFront();//如果队首所表示区间为空，则将其弹出					
		}
}q;
inline bool check(LL C)//求出额外代价为C时的最优答案以及对应造酿酒厂的个数是否小于等于m
{
	Cost=C,q.Clear();//清空数组
	for(register LL i=1;i<=n;++i)//斜率优化DP 
		f[i]=GetCost(q.Front().S,i),g[i]=g[q.Front().S]+1,q.Push(i);//计算出最优答案以及对应造酿酒厂的个数，然后将当前的i加入单调队列
	return g[n]<=m;//如果g[n]≤m则返回true
}
int main()
{
    register LL i,j,l,r,mid;
    for(F.read(n),F.read(m),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]);
    for(sort(a+1,a+n+1),i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(mid=(l=0)+(r=INF)>>1;l<=r;mid=l+r>>1) check(mid)?r=mid-1:l=mid+1;//WQS二分
    return check(l),F.write(f[n]-l*m),F.end(),0;//输出答案
}

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$T3$：【HHHOJ262】「NOIP模拟赛 捌」QTree（点此看题面）

先吐槽一波比赛时的数据太水（虽然我懒得优化暴力，结果还是没过）。

现在数据加强了，我本来改完能过的暴力代码现在被一个类似于菊花图的东西给卡崩了。

暴力我觉得就不用多讲了，大不了就是直接暴力修改+询问。

唯一要注意的地方应该是关于 $vis$数组的清空，我比较建议记录一下每次操作的编号，这样就可以不用清空数组，起到了极大程度的优化。

还是谈一谈正解吧（虽然我还没过），正解的大致思路是将节点的 $BFS$序存下来，然后用一棵线段树维护。

听起来好像并不难的样子。

但是，考虑到这是一棵基环外向树，听说无论什么题目一套上一个基环外向树就会码量大增… …

看了一下 $AC$代码， $4.0kb$起步，顿时失去了打的勇气… …

代码以后再补吧。